Тригонометрия Примеры

$\sin (x) + \sqrt{3} \cos (x) < 0$

Этап 1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} < \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} < \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель.

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} < \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 3.2

Разделим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} < \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 4

Разделим дроби.

$\tan (x) + \sqrt{3} < \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 5

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} < \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 6

Разделим $0$ на $1$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} < 0 \sec (x)$

Этап 7

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} < 0$

Этап 8

Вычтем $\sqrt{3}$ из обеих частей неравенства.

$\tan (x) < - \sqrt{3}$

Этап 9

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x < \arctan (- \sqrt{3})$

Этап 10

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Точное значение $\arctan (- \sqrt{3})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$x < - \frac{π}{3}$

Этап 11

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Этап 12

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Этап 12.2

Результирующий угол $\frac{2 π}{3}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{3} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 13

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 13.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 13.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 13.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 14

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{3}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{3} + π$

Этап 14.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 14.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 14.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 14.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 14.4.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 14.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 15

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 16

Объединим ответы.

$x = \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 17

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

Этап 18

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

Этап 19

Поскольку попадающие в этот интервал числа отсутствуют, это неравенство не имеет решения.

Нет решения