Тригонометрия Примеры

$- \sin (4 x) > 0$

Этап 1

Разделим каждый член $- \sin (4 x) > 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $- \sin (4 x) > 0$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- \sin (4 x)}{- 1} < \frac{0}{- 1}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (4 x)}{1} < \frac{0}{- 1}$

Этап 1.2.2

Разделим $\sin (4 x)$ на $1$ .

$\sin (4 x) < \frac{0}{- 1}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$\sin (4 x) < 0$

Этап 2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$4 x < \arcsin (0)$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$4 x < 0$

Этап 4

Разделим каждый член $4 x < 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $4 x < 0$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{0}{4}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} < \frac{0}{4}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{0}{4}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x < 0$

Этап 5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$4 x = π - 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$4 x = π + 0$

Этап 6.1.2

Добавим $π$ и $0$ .

$4 x = π$

Этап 6.2

Разделим каждый член $4 x = π$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $4 x = π$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 7

Найдем период $\sin (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $4$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 8

Период функции $\sin (4 x)$ равен $\frac{π}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{4}$ , для любого целого $n$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0 < x < \frac{π}{4}$

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{π}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{π}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.39$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $0.39$ в исходном неравенстве.

$- \sin (4 (0.39)) > 0$

Этап 11.1.3

Левая часть $- 0.99994172$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$- \sin (4 (1)) > 0$

Этап 11.2.3

Левая часть $0.75680249$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0 < x < \frac{π}{4}$ Ложь

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Истина

$0 < x < \frac{π}{4}$ Ложь

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Истина

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} < x < \frac{π}{2} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 13