Тригонометрия Примеры

$x (1 - \ln (x)) > 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$1 - \ln (x) = 0$

Этап 2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3

Приравняем $1 - \ln (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $1 - \ln (x)$ к $0$ .

$1 - \ln (x) = 0$

Этап 3.2

Решим $1 - \ln (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \ln (x) = - 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $- \ln (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $- \ln (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.2.2.2.2

Разделим $\ln (x)$ на $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Этап 3.2.3

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Этап 3.2.4

Перепишем $\ln (x) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Этап 3.2.5

Перепишем уравнение в виде $x = e^{1}$ .

$x = e$

Этап 4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (1 - \ln (x)) > 0$ верно.

$x = 0, e$

Этап 5

Найдем область определения $x (1 - \ln (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x > 0$

Этап 5.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(0, \infty)$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < e$

$x > e$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$(- 2) (1 - \ln (- 2)) > 0$

Этап 7.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 7.1.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $0 < x < e$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < e$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$(1) (1 - \ln (1)) > 0$

Этап 7.2.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $x > e$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $x > e$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$(5) (1 - \ln (5)) > 0$

Этап 7.3.3

Левая часть $- 3.04718956$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < e$ Истина

$x > e$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < e$ Истина

$x > e$ Ложь

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < e$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$0 < x < e$

Интервальное представление:

$(0, e)$

Этап 10