Тригонометрия Примеры

$\log (\frac{5 (3 - 6 x)}{x - 2}) < 2$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log (\frac{5 (3 - 6 x)}{x - 2}) = 2$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\log (\frac{5 (3 - 6 x)}{x - 2}) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{2} = \frac{5 (3 - 6 x)}{x - 2}$

Этап 2.2

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$5 (3 - 6 x) = 10^{2} (x - 2)$

Этап 2.3

Упростим $10^{2} (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$5 (3 - 6 x) = 100 (x - 2)$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (3 - 6 x) = 100 x + 100 \cdot - 2$

Этап 2.3.3

Умножим $100$ на $- 2$ .

$5 (3 - 6 x) = 100 x - 200$

Этап 2.4

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $100 x$ из обеих частей уравнения.

$5 (3 - 6 x) - 100 x = - 200$

Этап 2.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \cdot 3 + 5 (- 6 x) - 100 x = - 200$

Этап 2.4.2.2

Умножим $5$ на $3$ .

$15 + 5 (- 6 x) - 100 x = - 200$

Этап 2.4.2.3

Умножим $- 6$ на $5$ .

$15 - 30 x - 100 x = - 200$

Этап 2.4.3

Вычтем $100 x$ из $- 30 x$ .

$15 - 130 x = - 200$

Этап 2.5

Вынесем множитель $5$ из $15 - 130 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$5 (3) - 130 x = - 200$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель $5$ из $- 130 x$ .

$5 (3) + 5 (- 26 x) = - 200$

Этап 2.5.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (3) + 5 (- 26 x)$ .

$5 (3 - 26 x) = - 200$

Этап 2.6

Разделим каждый член $5 (3 - 26 x) = - 200$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Разделим каждый член $5 (3 - 26 x) = - 200$ на $5$ .

$\frac{5 (3 - 26 x)}{5} = \frac{- 200}{5}$

Этап 2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (3 - 26 x)}{5} = \frac{- 200}{5}$

Этап 2.6.2.1.2

Разделим $3 - 26 x$ на $1$ .

$3 - 26 x = \frac{- 200}{5}$

Этап 2.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Разделим $- 200$ на $5$ .

$3 - 26 x = - 40$

Этап 2.7

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 26 x = - 40 - 3$

Этап 2.7.2

Вычтем $3$ из $- 40$ .

$- 26 x = - 43$

Этап 2.8

Разделим каждый член $- 26 x = - 43$ на $- 26$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Разделим каждый член $- 26 x = - 43$ на $- 26$ .

$\frac{- 26 x}{- 26} = \frac{- 43}{- 26}$

Этап 2.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Сократим общий множитель $- 26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 26 x}{- 26} = \frac{- 43}{- 26}$

Этап 2.8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 43}{- 26}$

Этап 2.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{43}{26}$

Этап 3

Найдем область определения $\log (\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2}) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\log (\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2} > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$1 - 2 x = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 1$

Этап 3.2.3

Разделим каждый член $- 2 x = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.2.5

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = \frac{1}{2}$

$x = 2$

Этап 3.2.6

Объединим решения.

$x = \frac{1}{2}, 2$

Этап 3.2.7

Найдем область определения $\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Зададим знаменатель в $\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 2 = 0$

Этап 3.2.7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.2.7.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 3.2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

Этап 3.2.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 3.2.9.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{15 (1 - 2 \cdot 0)}{(0) - 2} > 0$

Этап 3.2.9.1.3

Левая часть $- 7.5$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 3.2.9.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{2} < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{2} < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 3.2.9.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\frac{15 (1 - 2 \cdot 1)}{(1) - 2} > 0$

Этап 3.2.9.2.3

Левая часть $15$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 3.2.9.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 3.2.9.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{15 (1 - 2 \cdot 4)}{(4) - 2} > 0$

Этап 3.2.9.3.3

Левая часть $- 52.5$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 3.2.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 3.2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{1}{2} < x < 2$

Этап 3.3

Зададим знаменатель в $\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 2 = 0$

Этап 3.4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(\frac{1}{2}, 2)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$

$\frac{43}{26} < x < 2$

$x > 2$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\log (\frac{5 (3 - 6 \cdot 0)}{(0) - 2}) < 2$

Этап 5.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.1.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\log (\frac{5 (3 - 6 \cdot 1)}{(1) - 2}) < 2$

Этап 5.2.3

Левая часть $1.17609125$ меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $\frac{43}{26} < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{43}{26} < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1.83$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $1.83$ в исходном неравенстве.

$\log (\frac{5 (3 - 6 \cdot 1.83)}{(1.83) - 2}) < 2$

Этап 5.3.3

Левая часть $2.37052397$ не меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 5.4

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 5.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\log (\frac{5 (3 - 6 \cdot 4)}{(4) - 2}) < 2$

Этап 5.4.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.4.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 5.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$ Истина

$\frac{43}{26} < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Ложь

$x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$ Истина

$\frac{43}{26} < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Ложь

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$

Интервальное представление:

$(\frac{1}{2}, \frac{43}{26})$

Этап 8