Тригонометрия Примеры

$5 x - 2 < 2 x^{2}$

Этап 1

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$5 x - 2 - 2 x^{2} < 0$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$5 x - 2 - 2 x^{2} = 0$

Этап 3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $5 x - 2 - 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Перенесем $- 2$ .

$5 x - 2 x^{2} - 2 = 0$

Этап 3.1.1.2

Изменим порядок $5 x$ и $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{2}$ .

$- (2 x^{2}) + 5 x - 2 = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $5 x$ .

$- (2 x^{2}) - (- 5 x) - 2 = 0$

Этап 3.1.4

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$- (2 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Этап 3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{2}) - (- 5 x)$ .

$- (2 x^{2} - 5 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Этап 3.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{2} - 5 x) - 1 (2)$ .

$- (2 x^{2} - 5 x + 2) = 0$

Этап 3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 x$ .

$- (2 x^{2} - 5 x + 2) = 0$

Этап 3.2.1.1.2

Запишем $- 5$ как $- 1$ плюс $- 4$

$- (2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2) = 0$

Этап 3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2) = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2) = 0$

Этап 3.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1)) = 0$

Этап 3.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$- ((2 x - 1) (x - 2)) = 0$

Этап 3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (2 x - 1) (x - 2) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 5

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (2 x - 1) (x - 2) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, 2$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$5 (0) - 2 < 2 {(0)}^{2}$

Этап 9.1.3

Левая часть $- 2$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{2} < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{2} < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$5 (1) - 2 < 2 {(1)}^{2}$

Этап 9.2.3

Левая часть $3$ не меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$5 (4) - 2 < 2 {(4)}^{2}$

Этап 9.3.3

Левая часть $18$ меньше правой части $32$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{2}$ Истина

$\frac{1}{2} < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < \frac{1}{2}$ Истина

$\frac{1}{2} < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < \frac{1}{2}$ или $x > 2$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < \frac{1}{2} or x > 2$

Интервальное представление:

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$

Этап 12