Тригонометрия Примеры

$2 x^{3} + x^{2} - 6 x < 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 x^{3} + x^{2} - 6 x = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{3} + x^{2} - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{3}$ .

$x (2 x^{2}) + x^{2} - 6 x = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x (2 x^{2}) + x \cdot x - 6 x = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 6 x$ .

$x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot - 6 = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x (2 x^{2}) + x \cdot x$ .

$x (2 x^{2} + x) + x \cdot - 6 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (2 x^{2} + x) + x \cdot - 6$ .

$x (2 x^{2} + x - 6) = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Умножим на $1$ .

$x (2 x^{2} + 1 x - 6) = 0$

Этап 2.2.1.1.2

Запишем $1$ как $- 3$ плюс $4$

$x (2 x^{2} + (- 3 + 4) x - 6) = 0$

Этап 2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x^{2} - 3 x + 4 x - 6) = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x ((2 x^{2} - 3 x) + 4 x - 6) = 0$

Этап 2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (x (2 x - 3) + 2 (2 x - 3)) = 0$

Этап 2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 3$ .

$x ((2 x - 3) (x + 2)) = 0$

Этап 2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (2 x - 3) (x + 2) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 5.2

Решим $2 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (2 x - 3) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{3}{2}, - 2$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$2 {(- 4)}^{3} + {(- 4)}^{2} - 6 \cdot - 4 < 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $- 88$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

$2 {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 < 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $5$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$2 {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 < 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $- 3$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.4

Проверим значение на интервале $x > \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 9.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$2 {(4)}^{3} + {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 < 0$

Этап 9.4.3

Левая часть $120$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{3}{2}$ Истина

$x > \frac{3}{2}$ Ложь

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{3}{2}$ Истина

$x > \frac{3}{2}$ Ложь

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 2$ или $0 < x < \frac{3}{2}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 2 or 0 < x < \frac{3}{2}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (0, \frac{3}{2})$

Этап 12