Тригонометрия Примеры

$2 | x + \frac{1}{3} | < 9$

Этап 1

Разделим каждый член $2 | x + \frac{1}{3} | < 9$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $2 | x + \frac{1}{3} | < 9$ на $2$ .

$\frac{2 | x + \frac{1}{3} |}{2} < \frac{9}{2}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 | x + \frac{1}{3} |}{2} < \frac{9}{2}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $| x + \frac{1}{3} |$ на $1$ .

$| x + \frac{1}{3} | < \frac{9}{2}$

Этап 2

Запишем $| x + \frac{1}{3} | < \frac{9}{2}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x + \frac{1}{3} \geq 0$

Этап 2.2

Вычтем $\frac{1}{3}$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - \frac{1}{3}$

Этап 2.3

В части, где $x + \frac{1}{3}$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x + \frac{1}{3} < \frac{9}{2}$

Этап 2.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x + \frac{1}{3} < 0$

Этап 2.5

Вычтем $\frac{1}{3}$ из обеих частей неравенства.

$x < - \frac{1}{3}$

Этап 2.6

В части, где $x + \frac{1}{3}$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (x + \frac{1}{3}) < \frac{9}{2}$

Этап 2.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x + \frac{1}{3} < \frac{9}{2} & x \geq - \frac{1}{3} \\ - (x + \frac{1}{3}) < \frac{9}{2} & x < - \frac{1}{3} \end{cases}$

Этап 2.8

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} x + \frac{1}{3} < \frac{9}{2} & x \geq - \frac{1}{3} \\ - x - \frac{1}{3} < \frac{9}{2} & x < - \frac{1}{3} \end{cases}$

Этап 3

Решим $x + \frac{1}{3} < \frac{9}{2}$ , когда $x \geq - \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $\frac{1}{3}$ из обеих частей неравенства.

$x < \frac{9}{2} - \frac{1}{3}$

Этап 3.1.2

Чтобы записать $\frac{9}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x < \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 3.1.3

Чтобы записать $- \frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x < \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.1.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$x < \frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.1.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x < \frac{9 \cdot 3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.1.4.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x < \frac{9 \cdot 3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}$

Этап 3.1.4.4

Умножим $3$ на $2$ .

$x < \frac{9 \cdot 3}{6} - \frac{2}{6}$

Этап 3.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x < \frac{9 \cdot 3 - 2}{6}$

Этап 3.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Умножим $9$ на $3$ .

$x < \frac{27 - 2}{6}$

Этап 3.1.6.2

Вычтем $2$ из $27$ .

$x < \frac{25}{6}$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x < \frac{25}{6}$ и $x \geq - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \leq x < \frac{25}{6}$

Этап 4

Решим $- x - \frac{1}{3} < \frac{9}{2}$ , когда $x < - \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Решим $- x - \frac{1}{3} < \frac{9}{2}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Добавим $\frac{1}{3}$ к обеим частям неравенства.

$- x < \frac{9}{2} + \frac{1}{3}$

Этап 4.1.1.2

Чтобы записать $\frac{9}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- x < \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

Этап 4.1.1.3

Чтобы записать $\frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- x < \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.1.1.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.4.1

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- x < \frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.1.1.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$- x < \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.1.1.4.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- x < \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{2}{3 \cdot 2}$

Этап 4.1.1.4.4

Умножим $3$ на $2$ .

$- x < \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{2}{6}$

Этап 4.1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- x < \frac{9 \cdot 3 + 2}{6}$

Этап 4.1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.6.1

Умножим $9$ на $3$ .

$- x < \frac{27 + 2}{6}$

Этап 4.1.1.6.2

Добавим $27$ и $2$ .

$- x < \frac{29}{6}$

Этап 4.1.2

Разделим каждый член $- x < \frac{29}{6}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Разделим каждый член $- x < \frac{29}{6}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\frac{29}{6}}{- 1}$

Этап 4.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} > \frac{\frac{29}{6}}{- 1}$

Этап 4.1.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{\frac{29}{6}}{- 1}$

Этап 4.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{29}{6}}{- 1}$ .

$x > - 1 \cdot \frac{29}{6}$

Этап 4.1.2.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{29}{6}$ в виде $- \frac{29}{6}$ .

$x > - \frac{29}{6}$

Этап 4.2

Найдем пересечение $x > - \frac{29}{6}$ и $x < - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{29}{6} < x < - \frac{1}{3}$

Этап 5

Найдем объединение решений.

$- \frac{29}{6} < x < \frac{25}{6}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- \frac{29}{6} < x < \frac{25}{6}$

Интервальное представление:

$(- \frac{29}{6}, \frac{25}{6})$

Этап 7