Тригонометрия Примеры

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) = {(\frac{x}{r})}^{2} + {(\frac{y}{r})}^{2}$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем ${(\frac{x}{r})}^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - {(\frac{x}{r})}^{2} = {(\frac{y}{r})}^{2}$

Этап 1.2

Вычтем ${(\frac{y}{r})}^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - {(\frac{x}{r})}^{2} - {(\frac{y}{r})}^{2} = 0$

Этап 2

Упростим $\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - {(\frac{x}{r})}^{2} - {(\frac{y}{r})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Переставляем члены.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - {(\frac{x}{r})}^{2} - {(\frac{y}{r})}^{2} = 0$

Этап 2.2

Применим формулу Пифагора.

$1 - {(\frac{x}{r})}^{2} - {(\frac{y}{r})}^{2} = 0$

Этап 2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{r}$ .

$1 - \frac{x^{2}}{r^{2}} - {(\frac{y}{r})}^{2} = 0$

Этап 2.3.2

Применим правило умножения к $\frac{y}{r}$ .

$1 - \frac{x^{2}}{r^{2}} - \frac{y^{2}}{r^{2}} = 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{x^{2}}{r^{2}} - \frac{y^{2}}{r^{2}} = - 1$

Этап 3.1.2

Добавим $\frac{y^{2}}{r^{2}}$ к обеим частям уравнения.

$- \frac{x^{2}}{r^{2}} = - 1 + \frac{y^{2}}{r^{2}}$

Этап 3.2

Разделим каждый член $- \frac{x^{2}}{r^{2}} = - 1 + \frac{y^{2}}{r^{2}}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $- \frac{x^{2}}{r^{2}} = - 1 + \frac{y^{2}}{r^{2}}$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{x^{2}}{r^{2}}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1} + \frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{x^{2}}{r^{2}}}{1} = \frac{- 1}{- 1} + \frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$

Этап 3.2.2.2

Разделим $\frac{x^{2}}{r^{2}}$ на $1$ .

$\frac{x^{2}}{r^{2}} = \frac{- 1}{- 1} + \frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{r^{2}} = 1 + \frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$

Этап 3.2.3.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{y^{2}}{r^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{x^{2}}{r^{2}} = 1 - 1 \cdot \frac{y^{2}}{r^{2}}$

Этап 3.2.3.1.3

Перепишем $- 1 \cdot \frac{y^{2}}{r^{2}}$ в виде $- \frac{y^{2}}{r^{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{r^{2}} = 1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}$

Этап 3.3

Умножим обе части на $r^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{r^{2}} r^{2} = (1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}) r^{2}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Сократим общий множитель $r^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2}}{r^{2}} r^{2} = (1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}) r^{2}$

Этап 3.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} = (1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}) r^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $(1 - \frac{y^{2}}{r^{2}}) r^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = 1 r^{2} - \frac{y^{2}}{r^{2}} r^{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $r^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = r^{2} - \frac{y^{2}}{r^{2}} r^{2}$

Этап 3.4.2.1.3

Сократим общий множитель $r^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y^{2}}{r^{2}}$ в числитель.

$x^{2} = r^{2} + \frac{- y^{2}}{r^{2}} r^{2}$

Этап 3.4.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = r^{2} + \frac{- y^{2}}{r^{2}} r^{2}$

Этап 3.4.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = r^{2} - y^{2}$

Этап 3.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{r^{2} - y^{2}}$

Этап 3.5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = r$ и $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(r + y) (r - y)}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{(r + y) (r - y)}$

Этап 3.5.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{(r + y) (r - y)}$

Этап 3.5.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{(r + y) (r - y)}$

$x = - \sqrt{(r + y) (r - y)}$

$x = \sqrt{(r + y) (r - y)}$

$x = - \sqrt{(r + y) (r - y)}$

$x = \sqrt{(r + y) (r - y)}$

$x = - \sqrt{(r + y) (r - y)}$

$x = \sqrt{(r + y) (r - y)}$

$x = - \sqrt{(r + y) (r - y)}$