Тригонометрия Примеры

$\frac{7}{x - 3} - 8 = \frac{10}{2 x - 3}$

Этап 1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$\frac{7}{x - 3} = \frac{10}{2 x - 3} + 8$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 3, 2 x - 3, 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x - 3$ является само значение $x - 3$ .

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $2 x - 3$ является само значение $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) = 2 x - 3$

$(2 x - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $x - 3, 2 x - 3$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 3) (2 x - 3)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{7}{x - 3} = \frac{10}{2 x - 3} + 8$ умножим на $(x - 3) (2 x - 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{7}{x - 3} = \frac{10}{2 x - 3} + 8$ на $(x - 3) (2 x - 3)$ .

$\frac{7}{x - 3} ((x - 3) (2 x - 3)) = \frac{10}{2 x - 3} ((x - 3) (2 x - 3)) + 8 ((x - 3) (2 x - 3))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7}{x - 3} ((x - 3) (2 x - 3)) = \frac{10}{2 x - 3} ((x - 3) (2 x - 3)) + 8 ((x - 3) (2 x - 3))$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$7 (2 x - 3) = \frac{10}{2 x - 3} ((x - 3) (2 x - 3)) + 8 ((x - 3) (2 x - 3))$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 (2 x) + 7 \cdot - 3 = \frac{10}{2 x - 3} ((x - 3) (2 x - 3)) + 8 ((x - 3) (2 x - 3))$

Этап 3.2.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Умножим $2$ на $7$ .

$14 x + 7 \cdot - 3 = \frac{10}{2 x - 3} ((x - 3) (2 x - 3)) + 8 ((x - 3) (2 x - 3))$

Этап 3.2.3.2

Умножим $7$ на $- 3$ .

$14 x - 21 = \frac{10}{2 x - 3} ((x - 3) (2 x - 3)) + 8 ((x - 3) (2 x - 3))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $2 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2 x - 3$ из $(x - 3) (2 x - 3)$ .

$14 x - 21 = \frac{10}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x - 3)) + 8 ((x - 3) (2 x - 3))$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$14 x - 21 = \frac{10}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x - 3)) + 8 ((x - 3) (2 x - 3))$

Этап 3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$14 x - 21 = 10 (x - 3) + 8 ((x - 3) (2 x - 3))$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$14 x - 21 = 10 x + 10 \cdot - 3 + 8 ((x - 3) (2 x - 3))$

Этап 3.3.1.3

Умножим $10$ на $- 3$ .

$14 x - 21 = 10 x - 30 + 8 ((x - 3) (2 x - 3))$

Этап 3.3.1.4

Развернем $(x - 3) (2 x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$14 x - 21 = 10 x - 30 + 8 (x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3))$

Этап 3.3.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$14 x - 21 = 10 x - 30 + 8 (x (2 x) + x \cdot - 3 - 3 (2 x - 3))$

Этап 3.3.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$14 x - 21 = 10 x - 30 + 8 (x (2 x) + x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)$

Этап 3.3.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$14 x - 21 = 10 x - 30 + 8 (2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)$

Этап 3.3.1.5.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1.2.1

Перенесем $x$ .

$14 x - 21 = 10 x - 30 + 8 (2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)$

Этап 3.3.1.5.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$14 x - 21 = 10 x - 30 + 8 (2 x^{2} + x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)$

Этап 3.3.1.5.1.3

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$14 x - 21 = 10 x - 30 + 8 (2 x^{2} - 3 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)$

Этап 3.3.1.5.1.4

Умножим $2$ на $- 3$ .

$14 x - 21 = 10 x - 30 + 8 (2 x^{2} - 3 x - 6 x - 3 \cdot - 3)$

Этап 3.3.1.5.1.5

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$14 x - 21 = 10 x - 30 + 8 (2 x^{2} - 3 x - 6 x + 9)$

Этап 3.3.1.5.2

Вычтем $6 x$ из $- 3 x$ .

$14 x - 21 = 10 x - 30 + 8 (2 x^{2} - 9 x + 9)$

Этап 3.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$14 x - 21 = 10 x - 30 + 8 (2 x^{2}) + 8 (- 9 x) + 8 \cdot 9$

Этап 3.3.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1

Умножим $2$ на $8$ .

$14 x - 21 = 10 x - 30 + 16 x^{2} + 8 (- 9 x) + 8 \cdot 9$

Этап 3.3.1.7.2

Умножим $- 9$ на $8$ .

$14 x - 21 = 10 x - 30 + 16 x^{2} - 72 x + 8 \cdot 9$

Этап 3.3.1.7.3

Умножим $8$ на $9$ .

$14 x - 21 = 10 x - 30 + 16 x^{2} - 72 x + 72$

Этап 3.3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $72 x$ из $10 x$ .

$14 x - 21 = - 62 x - 30 + 16 x^{2} + 72$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 30$ и $72$ .

$14 x - 21 = - 62 x + 16 x^{2} + 42$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 62 x + 16 x^{2} + 42 = 14 x - 21$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $14 x$ из обеих частей уравнения.

$- 62 x + 16 x^{2} + 42 - 14 x = - 21$

Этап 4.2.2

Вычтем $14 x$ из $- 62 x$ .

$- 76 x + 16 x^{2} + 42 = - 21$

Этап 4.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $21$ к обеим частям уравнения.

$- 76 x + 16 x^{2} + 42 + 21 = 0$

Этап 4.3.2

Добавим $42$ и $21$ .

$- 76 x + 16 x^{2} + 63 = 0$

Этап 4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5

Подставим значения $a = 16$ , $b = - 76$ и $c = 63$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{76 \pm \sqrt{{(- 76)}^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 63)}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Возведем $- 76$ в степень $2$ .

$x = \frac{76 \pm \sqrt{5776 - 4 \cdot 16 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 16 \cdot 63$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{76 \pm \sqrt{5776 - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.6.1.2.2

Умножим $- 64$ на $63$ .

$x = \frac{76 \pm \sqrt{5776 - 4032}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.6.1.3

Вычтем $4032$ из $5776$ .

$x = \frac{76 \pm \sqrt{1744}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.6.1.4

Перепишем $1744$ в виде $4^{2} \cdot 109$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $1744$ .

$x = \frac{76 \pm \sqrt{16 (109)}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.6.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{76 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 109}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{76 \pm 4 \sqrt{109}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $16$ .

$x = \frac{76 \pm 4 \sqrt{109}}{32}$

Этап 4.6.3

Упростим $\frac{76 \pm 4 \sqrt{109}}{32}$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{109}}{8}$

Этап 4.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{19 + \sqrt{109}}{8}, \frac{19 - \sqrt{109}}{8}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{19 + \sqrt{109}}{8}, \frac{19 - \sqrt{109}}{8}$

Десятичная форма:

$x = 3.68003831 \dots, 1.06996168 \dots$