Тригонометрия Примеры

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} - \cot (x) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \tan^{2} (x)} - \cot (x) = 0$

Этап 1.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1^{2} - \tan^{2} (x)} - \cot (x) = 0$

Этап 1.1.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \tan (x)$ .

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \cot (x) = 0$

Этап 1.1.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \tan (x))} - \cot (x) = 0$

Этап 1.1.2.3.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cot (x) = 0$

Этап 1.1.3

Объединим $2$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cot (x) = 0$

Этап 1.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cot (x) = 0$

Этап 1.1.5

Умножим $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) ((1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))} - \cot (x) = 0$

Этап 1.1.6

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Этап 2

Умножим обе части уравнения на $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 4

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

$\cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) ((1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))} + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 4.2

Сократим общий множитель.

$\cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) ((1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))} + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 6

Умножим $- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 6.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 6.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 7

Умножим $\cos (x)$ на $0$ .

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = 0$

Этап 8

Умножим обе части уравнения на $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Этап 9

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Этап 10

Умножим $\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{2 \sin (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ .

$\frac{\sin (x) (2 \sin (x))}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Этап 10.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Этап 10.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Этап 10.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Этап 10.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) (- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

Этап 11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Этап 12

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- \sin (x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Этап 12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

Этап 12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cos^{2} (x) = \sin (x) \cdot 0$

Этап 13

Умножим $\sin (x)$ на $0$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 14

Заменим $2 \sin^{2} (x)$ на $2 (1 - \cos^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 15.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 15.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 16

Вычтем $\cos^{2} (x)$ из $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 - 3 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 17

Упорядочим многочлен.

$- 3 \cos^{2} (x) + 2 = 0$

Этап 18

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- 3 \cos^{2} (x) = - 2$

Этап 19

Разделим каждый член $- 3 \cos^{2} (x) = - 2$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Разделим каждый член $- 3 \cos^{2} (x) = - 2$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

Этап 19.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

Этап 19.2.1.2

Разделим $\cos^{2} (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 2}{- 3}$

Этап 19.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cos^{2} (x) = \frac{2}{3}$

Этап 20

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

Этап 21

Упростим $\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Перепишем $\sqrt{\frac{2}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Этап 21.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 21.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 21.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 21.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 21.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 21.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 21.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 21.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 21.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 21.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 21.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 21.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Этап 21.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Этап 21.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 22

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 22.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 22.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 23

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 24

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{6}}{3})$

Этап 24.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1

Найдем значение $\arccos (\frac{\sqrt{6}}{3})$ .

$x = 0.6154797$

Этап 24.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 0.6154797$

Этап 24.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 0.6154797$

Этап 24.4.2

Упростим $2 (3.14159265) - 0.6154797$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.4.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.6154797$

Этап 24.4.2.2

Вычтем $0.6154797$ из $6.2831853$ .

$x = 5.66770559$

Этап 24.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 24.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 24.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 24.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 24.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 5.66770559 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 25

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

Этап 25.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.2.1

Найдем значение $\arccos (- \frac{\sqrt{6}}{3})$ .

$x = 2.52611294$

Этап 25.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 2.52611294$

Этап 25.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 2.52611294$

Этап 25.4.2

Упростим $2 (3.14159265) - 2.52611294$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.4.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.52611294$

Этап 25.4.2.2

Вычтем $2.52611294$ из $6.2831853$ .

$x = 3.75707236$

Этап 25.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 25.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 25.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 25.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 25.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2.52611294 + 2 π n, 3.75707236 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 26

Перечислим все решения.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 5.66770559 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n, 3.75707236 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 27

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1

Объединим $0.6154797 + 2 π n$ и $3.75707236 + 2 π n$ в $0.6154797 + π n$ .

$x = 0.6154797 + π n, 5.66770559 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 27.2

Объединим $5.66770559 + 2 π n$ и $2.52611294 + 2 π n$ в $2.52611294 + π n$ .

$x = 0.6154797 + π n, 2.52611294 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 28

Исключим решения, которые не делают $\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} - \cot (x) = 0$ истинным.

Нет решения