Тригонометрия Примеры

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Этап 1

Заменим $\cos^{2} (x)$ на $1 - \sin^{2} (x)$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \sin^{2} (x)) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Этап 2

Упорядочим многочлен.

$- \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $- \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Перенесем $1$ .

$- \sin^{2} (x) + 1 + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Этап 3.1.1.2

Изменим порядок $- \sin^{2} (x)$ и $1$ .

$1 - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Этап 3.1.2

Применим формулу Пифагора.

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Этап 3.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\cos^{2} (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} = \sec^{2} (x)$

Этап 3.1.3.2

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x)$

Этап 3.1.4

Переведем $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ в $\tan^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Этап 4

Заменим $\cos^{2} (x)$ на $1 - \sin^{2} (x)$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \sin^{2} (x)) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Этап 5

Упорядочим многочлен.

$- \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$

Этап 6

Упростим $- \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перенесем $1$ .

$- \sin^{2} (x) + 1 + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Этап 6.1.2

Изменим порядок $- \sin^{2} (x)$ и $1$ .

$1 - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Этап 6.2

Применим формулу Пифагора.

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Этап 6.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\cos^{2} (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} = \sec^{2} (x)$

Этап 6.3.2

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x)$

Этап 6.4

Переведем $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ в $\tan^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Этап 7

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $\sec^{2} (x)$ из обеих частей уравнения.

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) = 0$

Этап 7.2

Изменим порядок $\tan^{2} (x)$ и $- \sec^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) = 0$

Этап 7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) = 0$

Этап 7.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\tan^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x)) = 0$

Этап 7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ .

$\cos^{2} (x) - (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)) = 0$

Этап 7.6

Применим формулу Пифагора.

$\cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 7.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 7.8

Изменим порядок $\cos^{2} (x)$ и $- 1$ .

$- 1 + \cos^{2} (x) = 0$

Этап 7.9

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) = 0$

Этап 7.10

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 7.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 7.12

Перепишем $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ в виде $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 7.13

Применим формулу Пифагора.

$- \sin^{2} (x) = 0$

Этап 8

Разделим каждый член $- \sin^{2} (x) = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $- \sin^{2} (x) = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin^{2} (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 8.2.2

Разделим $\sin^{2} (x)$ на $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{0}{- 1}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

Этап 9

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

Этап 10

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 10.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sin (x) = \pm 0$

Этап 10.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 11

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 12

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 13

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 14

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 15

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 15.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 15.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 15.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 16

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 17

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$