Тригонометрия Примеры

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$

Этап 1

Вычтем $\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$ из обеих частей уравнения.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) - \frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)} = 0$

Этап 2

Упростим $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) - \frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\cos (2 x) - \frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)} = 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Переставляем члены.

$\cos (2 x) - \frac{1 - \tan^{2} (x)}{\tan^{2} (x) + 1} = 0$

Этап 2.2.2

Применим формулу Пифагора.

$\cos (2 x) - \frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = 0$

Этап 2.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\cos (2 x) - \frac{1^{2} - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = 0$

Этап 2.2.3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \tan (x)$ .

$\cos (2 x) - \frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)} = 0$

Этап 2.2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\cos (2 x) - \frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)} = 0$

Этап 2.2.3.3.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\cos (2 x) - \frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sec^{2} (x)} = 0$

Этап 2.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\cos (2 x) - \frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}} = 0$

Этап 2.2.4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\cos (2 x) - \frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}} = 0$

Этап 2.2.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$\cos (2 x) - \frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}} = 0$

Этап 2.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\cos (2 x) - ((1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.6

Развернем $(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (2 x) - ((1 (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (2 x) - ((1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (2 x) - ((1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\cos (2 x) - ((1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.7.1.2

Умножим $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $1$ .

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.7.1.3

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $1$ .

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.7.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.7.1.5

Умножим $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.5.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.7.1.5.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.7.1.5.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.7.1.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.7.1.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.7.1.5.6

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.7.1.5.7

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.7.1.5.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.7.1.5.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.7.2

Добавим $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\cos (2 x) - ((1 + 0 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.7.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (2 x) - (1 \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.9

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $1$ .

$\cos (2 x) - (\cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.10

Сократим общий множитель $\cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ в числитель.

$\cos (2 x) - (\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.10.2

Сократим общий множитель.

$\cos (2 x) - (\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.10.3

Перепишем это выражение.

$\cos (2 x) - (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.11

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\cos (2 x) - \cos (2 x) = 0$

Этап 2.3

Вычтем $\cos (2 x)$ из $\cos (2 x)$ .

$0 = 0$

Этап 3

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $x$ .

Все вещественные числа

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$