Тригонометрия Примеры

$\log (a) + \log (a + 21) = 2$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (a (a + 21)) = 2$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (a \cdot a + a \cdot 21) = 2$

Этап 1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $a$ на $a$ .

$\log (a^{2} + a \cdot 21) = 2$

Этап 1.3.2

Перенесем $21$ влево от $a$ .

$\log (a^{2} + 21 a) = 2$

Этап 2

Перепишем $\log (a^{2} + 21 a) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{2} = a^{2} + 21 a$

Этап 3

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $a^{2} + 21 a = 10^{2}$ .

$a^{2} + 21 a = 10^{2}$

Этап 3.2

Возведем $10$ в степень $2$ .

$a^{2} + 21 a = 100$

Этап 3.3

Вычтем $100$ из обеих частей уравнения.

$a^{2} + 21 a - 100 = 0$

Этап 3.4

Разложим $a^{2} + 21 a - 100$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 100$ , а сумма — $21$ .

$- 4, 25$

Этап 3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(a - 4) (a + 25) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$a - 4 = 0$

$a + 25 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $a - 4$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $a - 4$ к $0$ .

$a - 4 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$a = 4$

Этап 3.7

Приравняем $a + 25$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $a + 25$ к $0$ .

$a + 25 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$a = - 25$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(a - 4) (a + 25) = 0$ верно.

$a = 4, - 25$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (a) + \log (a + 21) = 2$ истинным.

$a = 4$