Тригонометрия Примеры

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 + \csc (x)} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Этап 1.1.2

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 + \frac{1}{\sin (x)}} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Этап 1.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{\sin (x)}} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Этап 1.1.4

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{1}{1 + \frac{1}{\sin (x)}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\cot (x)}$

Этап 2.1.2

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Этап 2.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = (\frac{1}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.1.5

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.1.6

Перепишем $- 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в виде $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 4

Умножим $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 4.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 4.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 6

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = 1 + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = 1 - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 8

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- \cos (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = 1 + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = 1 + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} = 1 - \sin (x)$

Этап 9

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} - 1 = - \sin (x)$

Этап 9.2

Добавим $\sin (x)$ к обеим частям уравнения.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} - 1 + \sin (x) = 0$

Этап 10

Упростим $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} - 1 + \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} - 1 + \sin (x) = 0$

Этап 10.1.2

Разделим дроби.

$\frac{\cos (x)}{1 + \frac{1}{\sin (x)}} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 + \sin (x) = 0$

Этап 10.1.3

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \frac{1}{\sin (x)}} \cot (x) - 1 + \sin (x) = 0$

Этап 10.1.4

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \csc (x)} \cot (x) - 1 + \sin (x) = 0$

Этап 10.1.5

Объединим $\frac{\cos (x)}{1 + \csc (x)}$ и $\cot (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cot (x)}{1 + \csc (x)} - 1 + \sin (x) = 0$

Этап 10.2

Чтобы записать $\sin (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cot (x)}{1 + \csc (x)} + \frac{\sin (x) (1 + \csc (x))}{1 + \csc (x)} - 1 = 0$

Этап 10.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) (1 + \csc (x))}{1 + \csc (x)} - 1 = 0$

Этап 10.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \csc (x)}{1 + \csc (x)} - 1 = 0$

Этап 10.4.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) + \sin (x) \csc (x)}{1 + \csc (x)} - 1 = 0$

Этап 10.4.3

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1

Изменим порядок $\sin (x)$ и $\csc (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) + \csc (x) \sin (x)}{1 + \csc (x)} - 1 = 0$

Этап 10.4.3.2

Выразим $\sin (x) \csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)}{1 + \csc (x)} - 1 = 0$

Этап 10.4.3.3

Сократим общие множители.

$\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} - 1 = 0$

Этап 11

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)}}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 12

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\cos (x) \cot (x) + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 13.2

Умножим $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 13.2.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 13.2.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 13.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 13.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 14

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \frac{1}{\sin (x)}} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 15

Умножим числитель и знаменатель дроби на $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Умножим $\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \frac{1}{\sin (x)}}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1}{1 + \frac{1}{\sin (x)}} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 15.2

Объединим.

$\frac{\sin (x) (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + 1)}{\sin (x) (1 + \frac{1}{\sin (x)})} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 16

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x) (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)})} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 17

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 17.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)})} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 17.2

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)})} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 17.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Переставляем члены.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 18.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 18.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 18.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 18.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 18.6

Применим формулу Пифагора.

$\frac{1 + \sin (x) \cdot 1}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 18.7

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1 + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 19

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 19.2

Сократим общий множитель $1 + \sin (x)$ и $\sin (x) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Изменим порядок членов.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 19.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 19.2.3

Перепишем это выражение.

$1 (\frac{1}{\cos (x)}) + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 19.3

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 20

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\sec (x) + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 21

Разделим дроби.

$\sec (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 22

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\sec (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 23

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\sec (x) - \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 24

Разделим дроби.

$\sec (x) - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 25

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\sec (x) - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 26

Разделим $0$ на $1$ .

$\sec (x) - \sec (x) = 0 \sec (x)$

Этап 27

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$\sec (x) - \sec (x) = 0$

Этап 28

Вычтем $\sec (x)$ из $\sec (x)$ .

$0 = 0$

Этап 29

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $x$ .

Все вещественные числа

Этап 30

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$