Тригонометрия Примеры

$\sqrt{\frac{\cos (x)}{\tan (x)}} = \cot (x)$

Этап 1

Вычтем $\cot (x)$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{\frac{\cos (x)}{\tan (x)}} - \cot (x) = 0$

Этап 2

Упростим $\sqrt{\frac{\cos (x)}{\tan (x)}} - \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\sqrt{\frac{\cos (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\sqrt{\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.3

Запишем $\cos (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\sqrt{\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\sqrt{\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.4.2

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\sqrt{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.5.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.6

Перепишем $\sqrt{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}$ в виде $\frac{\sqrt{\cos^{2} (x)}}{\sqrt{\sin (x)}}$ .

$\frac{\sqrt{\cos^{2} (x)}}{\sqrt{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.8

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin (x)}}$ на $\frac{\sqrt{\sin (x)}}{\sqrt{\sin (x)}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin (x)}} \cdot \frac{\sqrt{\sin (x)}}{\sqrt{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.9

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin (x)}}$ на $\frac{\sqrt{\sin (x)}}{\sqrt{\sin (x)}}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{\sqrt{\sin (x)} \sqrt{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.9.2

Возведем $\sqrt{\sin (x)}$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{\sqrt{\sin (x)}}^{1} \sqrt{\sin (x)}} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.9.3

Возведем $\sqrt{\sin (x)}$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{\sqrt{\sin (x)}}^{1} {\sqrt{\sin (x)}}^{1}} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.9.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{\sqrt{\sin (x)}}^{1 + 1}} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.9.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{\sqrt{\sin (x)}}^{2}} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.9.6

Перепишем ${\sqrt{\sin (x)}}^{2}$ в виде $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\sin (x)}$ в виде ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.9.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.9.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{\sin (x)}^{\frac{2}{2}}} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.9.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{{\sin (x)}^{\frac{2}{2}}} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.9.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{\sin^{1} (x)} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.9.6.5

Упростим.

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{\sin (x)} - \cot (x) = 0$

Этап 2.1.10

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x) \sqrt{\sin (x)}}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим дроби.

$\frac{\sqrt{\sin (x)}}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Этап 2.2.2

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\frac{\sqrt{\sin (x)}}{1} \cot (x) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Этап 2.2.3

Разделим $\sqrt{\sin (x)}$ на $1$ .

$\sqrt{\sin (x)} \cot (x) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Этап 2.2.4

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\sqrt{\sin (x)} \cot (x) - \cot (x) = 0$

Этап 3

Разложим $\sqrt{\sin (x)} \cot (x) - \cot (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\sin (x)}$ в виде ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} \cot (x) - \cot (x) = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $\cot (x)$ из ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} \cot (x) - \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $\cot (x)$ из ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} \cot (x)$ .

$\cot (x) {\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - \cot (x) = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $\cot (x)$ из $- \cot (x)$ .

$\cot (x) {\sin (x)}^{\frac{1}{2}} + \cot (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $\cot (x)$ из $\cot (x) {\sin (x)}^{\frac{1}{2}} + \cot (x) \cdot - 1$ .

$\cot (x) ({\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cot (x) = 0$

${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $\cot (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\cot (x)$ к $0$ .

$\cot (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\cot (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $arccot (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 5.2.3

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4

Упростим $π + \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 5.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Этап 5.2.4.3.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 5.2.5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.2.6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - 1$ к $0$ .

${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Этап 6.2

Решим ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

${\sin (x)}^{\frac{1}{2}} = 1$

Этап 6.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Этап 6.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Упростим ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Этап 6.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Этап 6.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\sin^{1} (x) = 1^{2}$

Этап 6.2.3.1.1.2

Упростим.

$\sin (x) = 1^{2}$

Этап 6.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\sin (x) = 1$

Этап 6.2.4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (1)$

Этап 6.2.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 6.2.6

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.7

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.7.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.7.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.2.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 6.2.7.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 6.2.8

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.8.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.9

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $\cot (x) ({\sin (x)}^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$