Тригонометрия Примеры

$\frac{\tan (x) - 1}{\tan (x) + 1} = \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Этап 1

Умножим обе части на $\tan (x) + 1$ .

$\frac{\tan (x) - 1}{\tan (x) + 1} (\tan (x) + 1) = \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)} (\tan (x) + 1)$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $\tan (x) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\tan (x) - 1}{\tan (x) + 1} (\tan (x) + 1) = \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)} (\tan (x) + 1)$

Этап 2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\tan (x) - 1 = \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)} (\tan (x) + 1)$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $\frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)} (\tan (x) + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (x) - 1 = \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)} \tan (x) + \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)} \cdot 1$

Этап 2.2.1.1.2

Объединим $\frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$ и $\tan (x)$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{(1 - \cot (x)) \tan (x)}{1 + \cot (x)} + \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)} \cdot 1$

Этап 2.2.1.1.3

Умножим $\frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$ на $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{(1 - \cot (x)) \tan (x)}{1 + \cot (x)} + \frac{1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Этап 2.2.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\tan (x) - 1 = \frac{(1 - \cot (x)) \tan (x) + 1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Этап 2.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (x) - 1 = \frac{1 \tan (x) - \cot (x) \tan (x) + 1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{\tan (x) - \cot (x) \tan (x) + 1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Этап 2.2.1.2.3

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.3.1

Добавим круглые скобки.

$\tan (x) - 1 = \frac{\tan (x) - (\cot (x) \tan (x)) + 1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Этап 2.2.1.2.3.2

Выразим $- \cot (x) \tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\tan (x) - 1 = \frac{\tan (x) - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + 1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Этап 2.2.1.2.3.3

Сократим общие множители.

$\tan (x) - 1 = \frac{\tan (x) - 1 \cdot 1 + 1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Этап 2.2.1.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{\tan (x) - 1 + 1 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Этап 2.2.1.3

Объединим противоположные члены в $\tan (x) - 1 + 1 - \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{\tan (x) + 0 - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Этап 2.2.1.3.2

Добавим $\tan (x)$ и $0$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{\tan (x) - \cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\tan (x) = \frac{\tan (x) - \cot (x)}{1 + \cot (x)} + 1$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\tan (x) - \cot (x)}{1 + \cot (x)} + 1$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cot (x)}{1 + \cot (x)} + 1$

Этап 3.3.1.1.2

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 + \cot (x)} + 1$

Этап 3.3.1.2

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Этап 3.3.1.3

Умножим числитель и знаменатель дроби на $\cos (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Умножим $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ на $\frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Этап 3.3.1.3.2

Объединим.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x) \sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) (1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})} + 1$

Этап 3.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Этап 3.3.1.5

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x) (\sin (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Этап 3.3.1.5.1.2

Сократим общий множитель.

Этап 3.3.1.5.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Этап 3.3.1.5.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Этап 3.3.1.5.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Этап 3.3.1.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Этап 3.3.1.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Этап 3.3.1.5.6

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в числитель.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) \frac{- \cos (x)}{\sin (x)}}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Этап 3.3.1.5.6.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) \frac{- \cos (x)}{\sin (x)}}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Этап 3.3.1.5.6.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) \frac{- \cos (x)}{\sin (x)}}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Этап 3.3.1.5.6.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Этап 3.3.1.5.7

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Этап 3.3.1.5.8

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Этап 3.3.1.5.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Этап 3.3.1.5.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Этап 3.3.1.5.11

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.11.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Этап 3.3.1.5.11.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + 1$

Этап 3.3.1.5.11.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)} + 1$

Этап 3.3.1.5.12

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos^{1} (x) \cos (x)} + 1$

Этап 3.3.1.5.13

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + 1$

Этап 3.3.1.5.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + {\cos (x)}^{1 + 1}} + 1$

Этап 3.3.1.5.15

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x)} + 1$

Этап 3.3.1.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \sin (x)$ и $b = \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x)} + 1$

Этап 3.3.1.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) \sin (x) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) (\sin (x) \cdot 1) + \cos^{2} (x)} + 1$

Этап 3.3.1.7.1.2

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) (\sin (x) \cdot 1) + \cos (x) \cos (x)} + 1$

Этап 3.3.1.7.1.3

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) (\sin (x) \cdot 1) + \cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) (\sin (x) \cdot 1 + \cos (x))} + 1$

Этап 3.3.1.7.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) (\sin (x) + \cos (x))} + 1$

Этап 3.3.1.8

Сократим общий множитель $\sin (x) + \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) (\sin (x) + \cos (x))} + 1$

Этап 3.3.1.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x)} + 1$

Этап 3.4

Умножим обе части уравнения на $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x)} + 1)$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x)} + 1)$

Этап 3.5.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) = \cos (x) (\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x)} + 1)$

Этап 3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) = \cos (x) \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 1$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) = \cos (x) \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 1$

Этап 3.7.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) = \sin (x) - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1$

Этап 3.8

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \sin (x) - \cos (x) + \cos (x)$

Этап 3.9

Объединим противоположные члены в $\sin (x) - \cos (x) + \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Добавим $- \cos (x)$ и $\cos (x)$ .

$\sin (x) = \sin (x) + 0$

Этап 3.9.2

Добавим $\sin (x)$ и $0$ .

$\sin (x) = \sin (x)$

Этап 3.10

Чтобы две функции были равны, аргументы каждой из них должны быть одинаковыми.

$x = x$

Этап 3.11

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x - x = 0$

Этап 3.11.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$0 = 0$

Этап 3.12

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $x$ .

Все вещественные числа

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$