Тригонометрия Примеры

$\frac{\tan (x) + \cot (y)}{\tan (x) \cdot \cot (y)} = \tan (y) + \cot (x)$

Этап 1

Умножим обе части на $\tan (x) \cdot \cot (y)$ .

$\frac{\tan (x) + \cot (y)}{\tan (x) \cdot \cot (y)} (\tan (x) \cdot \cot (y)) = (\tan (y) + \cot (x)) (\tan (x) \cdot \cot (y))$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $\tan (x) \cdot \cot (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\tan (x) + \cot (y)}{\tan (x) \cdot \cot (y)} (\tan (x) \cdot \cot (y)) = (\tan (y) + \cot (x)) (\tan (x) \cdot \cot (y))$

Этап 2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\tan (x) + \cot (y) = (\tan (y) + \cot (x)) (\tan (x) \cdot \cot (y))$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $(\tan (y) + \cot (x)) (\tan (x) \cdot \cot (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (x) + \cot (y) = \tan (y) (\tan (x) \cot (y)) + \cot (x) (\tan (x) \cot (y))$

Этап 2.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.1

Выразим $\cot (x) \tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\tan (x) + \cot (y) = \tan (y) \tan (x) \cot (y) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cot (y)$

Этап 2.2.1.2.1.2

Сократим общие множители.

$\tan (x) + \cot (y) = \tan (y) \tan (x) \cot (y) + 1 \cot (y)$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $\cot (y)$ на $1$ .

$\tan (x) + \cot (y) = \tan (y) \tan (x) \cot (y) + \cot (y)$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $\tan (y) \tan (x) \cot (y)$ из обеих частей уравнения.

$\tan (x) + \cot (y) - \tan (y) \tan (x) \cot (y) = \cot (y)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\tan (x) + \cot (y) - \tan (y) \tan (x) \cot (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (y) - \tan (y) \tan (x) \cot (y) = \cot (y)$

Этап 3.2.1.1.2

Выразим $\cot (y)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - \tan (y) \tan (x) \cot (y) = \cot (y)$

Этап 3.2.1.1.3

Выразим $\tan (y)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \tan (x) \cot (y) = \cot (y)$

Этап 3.2.1.1.4

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cot (y) = \cot (y)$

Этап 3.2.1.1.5

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)} \cot (y) = \cot (y)$

Этап 3.2.1.1.6

Выразим $\cot (y)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \cot (y)$

Этап 3.2.1.1.7

Сократим общий множитель $\sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}$ в числитель.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} + \frac{- \sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \cot (y)$

Этап 3.2.1.1.7.2

Вынесем множитель $\sin (y)$ из $- \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} + \frac{\sin (y) (- \sin (x))}{\cos (x) \cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \cot (y)$

Этап 3.2.1.1.7.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} + \frac{\sin (y) (- \sin (x))}{\cos (x) \cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \cot (y)$

Этап 3.2.1.1.7.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x) \cos (y)} \cos (y) = \cot (y)$

Этап 3.2.1.1.8

Сократим общий множитель $\cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.8.1

Вынесем множитель $\cos (y)$ из $\cos (x) \cos (y)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (y) \cos (x)} \cos (y) = \cot (y)$

Этап 3.2.1.1.8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (y) \cos (x)} \cos (y) = \cot (y)$

Этап 3.2.1.1.8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \cot (y)$

Этап 3.2.1.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cot (y)$

Этап 3.2.1.2

Объединим противоположные члены в $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Вычтем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ из $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$0 + \frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \cot (y)$

Этап 3.2.1.2.2

Добавим $0$ и $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ .

$\frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \cot (y)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Выразим $\cot (y)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Этап 3.4

Умножим обе части уравнения на $\sin (y)$ .

$\sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $\sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сократим общий множитель.

$\sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)} = \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Этап 3.5.2

Перепишем это выражение.

$\cos (y) = \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $\sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сократим общий множитель.

$\cos (y) = \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Этап 3.6.2

Перепишем это выражение.

$\cos (y) = \cos (y)$

Этап 3.7

Чтобы две функции были равны, аргументы каждой из них должны быть одинаковыми.

$y = y$

Этап 3.8

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y - y = 0$

Этап 3.8.2

Вычтем $y$ из $y$ .

$0 = 0$

Этап 3.9

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным.

Всегда истинное

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Всегда истинное

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$