Тригонометрия Примеры

$2 \sin (5 x) = - \sqrt{2}$

Этап 1

Разделим каждый член $2 \sin (5 x) = - \sqrt{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $2 \sin (5 x) = - \sqrt{2}$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (5 x)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (5 x)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $\sin (5 x)$ на $1$ .

$\sin (5 x) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (5 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$5 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ : $- \frac{π}{4}$ .

$5 x = - \frac{π}{4}$

Этап 4

Разделим каждый член $5 x = - \frac{π}{4}$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $5 x = - \frac{π}{4}$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{4}}{5}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{4}}{5}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{5}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 4.3.2

Умножим $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{5 \cdot 4}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $5$ на $4$ .

$x = - \frac{π}{20}$

Этап 5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$5 x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Этап 6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$5 x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Этап 6.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{4}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{4} + π$ на полный оборот.

$5 x = \frac{5 π}{4}$

Этап 6.3

Разделим каждый член $5 x = \frac{5 π}{4}$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $5 x = \frac{5 π}{4}$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{4}}{5}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{4}}{5}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{5}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 6.3.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 π$ .

$x = \frac{5 (π)}{4} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 6.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 6.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{4}$

Этап 7

Найдем период $\sin (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $5$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $5$ равно $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Этап 8

Добавим $\frac{2 π}{5}$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $\frac{2 π}{5}$ к $- \frac{π}{20}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{20} + \frac{2 π}{5}$

Этап 8.2

Чтобы записать $\frac{2 π}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π}{5} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{20}$

Этап 8.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $20$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $\frac{2 π}{5}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{π}{20}$

Этап 8.3.2

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{20} - \frac{π}{20}$

Этап 8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{20}$

Этап 8.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 π - π}{20}$

Этап 8.5.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$\frac{7 π}{20}$

Этап 8.6

Перечислим новые углы.

$x = \frac{7 π}{20}$

Этап 9

Период функции $\sin (5 x)$ равен $\frac{2 π}{5}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{2 π}{5}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + \frac{2 π n}{5}, \frac{7 π}{20} + \frac{2 π n}{5}$ , для любого целого $n$