Тригонометрия Примеры

$2 \sin^{2} (x) + 1 = 4 \sin (x)$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$2 {(u)}^{2} + 1 = 4 (u)$

Этап 2

Вычтем $4 u$ из обеих частей уравнения.

$2 u^{2} + 1 - 4 u = 0$

Этап 3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 4$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 8$ на $1$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.3

Вычтем $8$ из $16$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{4}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}$

Этап 6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}, \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

Этап 7

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}, \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

Этап 8

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

Этап 9

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 10

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{2 - \sqrt{2}}{2})$

Этап 10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{2 - \sqrt{2}}{2})$ .

$x = 0.29725136$

Этап 10.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 0.29725136$

Этап 10.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 0.29725136$

Этап 10.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 0.29725136$

Этап 10.4.3

Вычтем $0.29725136$ из $3.14159265$ .

$x = 2.84434129$

Этап 10.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 10.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 10.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 10.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.29725136 + 2 π n, 2.84434129 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Перечислим все решения.

$x = 0.29725136 + 2 π n, 2.84434129 + 2 π n$ , для любого целого $n$