Тригонометрия Примеры

$15 \cos^{2} (x) = 13 + \sin (x)$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$15 \cos^{2} (x) - 13 = \sin (x)$

Этап 1.2

Вычтем $\sin (x)$ из обеих частей уравнения.

$15 \cos^{2} (x) - 13 - \sin (x) = 0$

Этап 2

Заменим $15 \cos^{2} (x)$ на $15 (1 - \sin^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$15 (1 - \sin^{2} (x)) - 13 - \sin (x) = 0$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$15 \cdot 1 + 15 (- \sin^{2} (x)) - 13 - \sin (x) = 0$

Этап 3.2

Умножим $15$ на $1$ .

$15 + 15 (- \sin^{2} (x)) - 13 - \sin (x) = 0$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $15$ .

$15 - 15 \sin^{2} (x) - 13 - \sin (x) = 0$

Этап 4

Вычтем $13$ из $15$ .

$- 15 \sin^{2} (x) + 2 - \sin (x) = 0$

Этап 5

Упорядочим многочлен.

$- 15 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 2 = 0$

Этап 6

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$- 15 {(u)}^{2} - (u) + 2 = 0$

Этап 7

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 15 u^{2} - u + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 15 u^{2}$ .

$- (15 u^{2}) - u + 2 = 0$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- u$ .

$- (15 u^{2}) - u + 2 = 0$

Этап 7.1.3

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$- (15 u^{2}) - u - 1 \cdot - 2 = 0$

Этап 7.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (15 u^{2}) - u$ .

$- (15 u^{2} + u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Этап 7.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (15 u^{2} + u) - 1 (- 2)$ .

$- (15 u^{2} + u - 2) = 0$

Этап 7.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 15 \cdot - 2 = - 30$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Умножим на $1$ .

$- (15 u^{2} + 1 u - 2) = 0$

Этап 7.2.1.1.2

Запишем $1$ как $- 5$ плюс $6$

$- (15 u^{2} + (- 5 + 6) u - 2) = 0$

Этап 7.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (15 u^{2} - 5 u + 6 u - 2) = 0$

Этап 7.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- (15 u^{2} - 5 u + 6 u - 2) = 0$

Этап 7.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (5 u (3 u - 1) + 2 (3 u - 1)) = 0$

Этап 7.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u - 1$ .

$- ((3 u - 1) (5 u + 2)) = 0$

Этап 7.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (3 u - 1) (5 u + 2) = 0$

Этап 8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 u - 1 = 0$

$5 u + 2 = 0$

Этап 9

Приравняем $3 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $3 u - 1$ к $0$ .

$3 u - 1 = 0$

Этап 9.2

Решим $3 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 u = 1$

Этап 9.2.2

Разделим каждый член $3 u = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Разделим каждый член $3 u = 1$ на $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 9.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 9.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{3}$

Этап 10

Приравняем $5 u + 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $5 u + 2$ к $0$ .

$5 u + 2 = 0$

Этап 10.2

Решим $5 u + 2 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$5 u = - 2$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $5 u = - 2$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $5 u = - 2$ на $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{- 2}{5}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 u}{5} = \frac{- 2}{5}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 2}{5}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{2}{5}$

Этап 11

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (3 u - 1) (5 u + 2) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{3}, - \frac{2}{5}$

Этап 12

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = \frac{1}{3}, - \frac{2}{5}$

Этап 13

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{3}$

$\sin (x) = - \frac{2}{5}$

Этап 14

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{3})$

Этап 14.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{1}{3})$ .

$x = 0.3398369$

Этап 14.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Этап 14.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 0.3398369$

Этап 14.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Этап 14.4.3

Вычтем $0.3398369$ из $3.14159265$ .

$x = 2.80175574$

Этап 14.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 14.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 14.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 14.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 14.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.3398369 + 2 π n, 2.80175574 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{2}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{2}{5})$

Этап 15.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{2}{5})$ .

$x = - 0.41151684$

Этап 15.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265$

Этап 15.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265 - 2 π$

Этап 15.4.2

Результирующий угол $3.55310949$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 (3.14159265) + 0.41151684 + 3.14159265$ на полный оборот.

$x = 3.55310949$

Этап 15.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 15.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 15.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 15.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 15.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.6.1

Добавим $2 π$ к $- 0.41151684$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.41151684 + 2 π$

Этап 15.6.2

Вычтем $0.41151684$ из $2 π$ .

$5.87166846$

Этап 15.6.3

Перечислим новые углы.

$x = 5.87166846$

Этап 15.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 3.55310949 + 2 π n, 5.87166846 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 16

Перечислим все решения.

$x = 0.3398369 + 2 π n, 2.80175574 + 2 π n, 3.55310949 + 2 π n, 5.87166846 + 2 π n$ , для любого целого $n$