Тригонометрия Примеры

$- 110 \cos (x) = 40 \cos^{2} (x) + 60$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $40 \cos^{2} (x)$ из обеих частей уравнения.

$- 110 \cos (x) - 40 \cos^{2} (x) = 60$

Этап 1.2

Вычтем $60$ из обеих частей уравнения.

$- 110 \cos (x) - 40 \cos^{2} (x) - 60 = 0$

Этап 2

Разложим $- 110 \cos (x) - 40 \cos^{2} (x) - 60$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $10$ из $- 110 \cos (x) - 40 \cos^{2} (x) - 60$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $10$ из $- 110 \cos (x)$ .

$10 (- 11 \cos (x)) - 40 \cos^{2} (x) - 60 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $10$ из $- 40 \cos^{2} (x)$ .

$10 (- 11 \cos (x)) + 10 (- 4 \cos^{2} (x)) - 60 = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $10$ из $- 60$ .

$10 (- 11 \cos (x)) + 10 (- 4 \cos^{2} (x)) + 10 (- 6) = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $10$ из $10 (- 11 \cos (x)) + 10 (- 4 \cos^{2} (x))$ .

$10 (- 11 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x)) + 10 (- 6) = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $10$ из $10 (- 11 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x)) + 10 (- 6)$ .

$10 (- 11 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 6) = 0$

Этап 2.2

Пусть $u = \cos (x)$ . Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ для всех.

$10 (- 11 u - 4 u^{2} - 6) = 0$

Этап 2.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Изменим порядок членов.

$10 (- 4 u^{2} - 11 u - 6) = 0$

Этап 2.3.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 4 \cdot - 6 = 24$ , а сумма — $b = - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем множитель $- 11$ из $- 11 u$ .

$10 (- 4 u^{2} - 11 u - 6) = 0$

Этап 2.3.2.2

Запишем $- 11$ как $- 3$ плюс $- 8$

$10 (- 4 u^{2} + (- 3 - 8) u - 6) = 0$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$10 (- 4 u^{2} - 3 u - 8 u - 6) = 0$

Этап 2.3.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$10 ((- 4 u^{2} - 3 u) - 8 u - 6) = 0$

Этап 2.3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$10 (u (- 4 u - 3) + 2 (- 4 u - 3)) = 0$

Этап 2.3.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 4 u - 3$ .

$10 ((- 4 u - 3) (u + 2)) = 0$

Этап 2.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$10 ((- 4 \cos (x) - 3) (\cos (x) + 2)) = 0$

Этап 2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$10 (- 4 \cos (x) - 3) (\cos (x) + 2) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- 4 \cos (x) - 3 = 0$

$\cos (x) + 2 = 0$

Этап 4

Приравняем $- 4 \cos (x) - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $- 4 \cos (x) - 3$ к $0$ .

$- 4 \cos (x) - 3 = 0$

Этап 4.2

Решим $- 4 \cos (x) - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$- 4 \cos (x) = 3$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $- 4 \cos (x) = 3$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $- 4 \cos (x) = 3$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{3}{- 4}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (x) = - \frac{3}{4}$

Этап 4.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{3}{4})$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Найдем значение $\arccos (- \frac{3}{4})$ .

$x = 2.4188584$

Этап 4.2.5

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

Этап 4.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

Этап 4.2.6.2

Упростим $2 (3.14159265) - 2.4188584$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.4188584$

Этап 4.2.6.2.2

Вычтем $2.4188584$ из $6.2831853$ .

$x = 3.8643269$

Этап 4.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $\cos (x) + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\cos (x) + 2$ к $0$ .

$\cos (x) + 2 = 0$

Этап 5.2

Решим $\cos (x) + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\cos (x) = - 2$

Этап 5.2.2

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- 2$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $10 (- 4 \cos (x) - 3) (\cos (x) + 2) = 0$ верно.

$x = 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , для любого целого $n$