Тригонометрия Примеры

$\cos (\frac{x}{3}) = \frac{1}{2}$

Этап 1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$\frac{x}{3} = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{3}$

Этап 3

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$x = π$

Этап 4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{x}{3} = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{3})$

Этап 5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{3})$

Этап 5.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 3 (2 π - \frac{π}{3})$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $3 (2 π - \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Этап 5.2.2.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Этап 5.2.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 3 \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 5.2.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x = 3 \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 5.2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 π \cdot 3 - π$

Этап 5.2.2.1.5

Умножим $3$ на $2$ .

$x = 6 π - π$

Этап 5.2.2.1.6

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = 5 π$

Этап 6

Найдем период $\cos (\frac{x}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{3}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Этап 6.3

$\frac{1}{3}$ приблизительно равно $0.\overline{3}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Этап 6.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 3$

Этап 6.5

Умножим $3$ на $2$ .

$6 π$

Этап 7

Период функции $\cos (\frac{x}{3})$ равен $6 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $6 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 6 π n, 5 π + 6 π n$ , для любого целого $n$