Тригонометрия Примеры

$\cos (x) (\tan (x)) + \cot (x) = \csc (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Изменим порядок $\cos (x)$ и $\tan (x)$ .

$\tan (x) \cos (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Этап 1.1.1.2

Выразим $\cos (x) \tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Этап 1.1.1.3

Сократим общие множители.

$\sin (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Этап 1.1.2

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 5

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 5.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 7.2

Перепишем это выражение.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = 1$

Этап 8

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Этап 9

Упростим $\sin^{2} (x) + \cos (x) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем $- 1$ .

$\sin^{2} (x) - 1 + \cos (x) = 0$

Этап 9.2

Изменим порядок $\sin^{2} (x)$ и $- 1$ .

$- 1 + \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Этап 9.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Этап 9.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\sin^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Этап 9.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Этап 9.6

Перепишем $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ в виде $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$- (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Этап 9.7

Применим формулу Пифагора.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Этап 10

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ для всех.

$- u^{2} + u = 0$

Этап 10.1.2

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2} + u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$u (- u) + u = 0$

Этап 10.1.2.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$u (- u) + u = 0$

Этап 10.1.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u^{1}$ .

$u (- u) + u \cdot 1 = 0$

Этап 10.1.2.4

Вынесем множитель $u$ из $u (- u) + u \cdot 1$ .

$u (- u + 1) = 0$

Этап 10.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) = 0$

Этап 10.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- \cos (x) + 1 = 0$

Этап 10.3

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 10.3.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 10.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 10.3.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 10.3.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 10.3.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 10.3.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 10.3.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 10.3.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 10.3.2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.3.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 10.3.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 10.3.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 10.3.2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10.4

Приравняем $- \cos (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Приравняем $- \cos (x) + 1$ к $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

Этап 10.4.2

Решим $- \cos (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \cos (x) = - 1$

Этап 10.4.2.2

Разделим каждый член $- \cos (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.1

Разделим каждый член $- \cos (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 10.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 10.4.2.2.2.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 10.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Этап 10.4.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (1)$

Этап 10.4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.4.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 10.4.2.5

$x = 2 π - 0$

Этап 10.4.2.6

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 10.4.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 10.4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 10.4.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 10.4.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $\cos (x) (- \cos (x) + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{π}{2} + 2 π n$ и $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ в $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11.2

Объединим $2 π n$ и $2 π + 2 π n$ в $2 π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Исключим решения, которые не делают $\cos (x) (\tan (x)) + \cot (x) = \csc (x)$ истинным.

$x = 1.57079632, 4.71238898, 6.2831853, 7.85398163, 10.99557428, 12.56637061, 14.13716694, 17.27875959, 18.84955592, 20.42035224, 23.5619449, 25.13274122, 31.41592653, 37.69911184, 43.98229715$ , для любого целого $n$