Тригонометрия Примеры

$\csc (x) - \cot (2 x) = \tan (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\sin (x)} - \cot (2 x) = \tan (x)$

Этап 1.1.2

Выразим $\cot (2 x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \tan (x)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}) = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}) = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 5

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}) = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 5.2

Перепишем это выражение.

$1 + \sin (x) (- \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}) = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 - \sin (x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ и $\sin (x)$ .

$1 - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{\sin (2 x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.2

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$1 - \frac{(2 \cos^{2} (x) - 1) \sin (x)}{\sin (2 x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$1 - \frac{(2 \cos^{2} (x) - 1) \sin (x)}{2 \sin (x) \cos (x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Сократим общий множитель.

$1 - \frac{(2 \cos^{2} (x) - 1) \sin (x)}{2 \sin (x) \cos (x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.4.2

Перепишем это выражение.

$1 - \frac{2 \cos^{2} (x) - 1}{2 \cos (x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.5

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 8

Умножим $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 8.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 8.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Этап 8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Этап 8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 9

Вычтем $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ из обеих частей уравнения.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разделим дроби.

$1 - (\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 10.2

Перепишем $\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$ в виде произведения.

$1 - (\frac{1}{2} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 10.3

Запишем $\cos (2 x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$1 - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 10.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Разделим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$1 - (\frac{1}{2} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 10.4.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$1 - (\frac{1}{2} (\cos (2 x) \sec (x))) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 10.5

Умножим $\frac{1}{2} (\cos (2 x) \sec (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Объединим $\cos (2 x)$ и $\frac{1}{2}$ .

$1 - (\frac{\cos (2 x)}{2} \sec (x)) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 10.5.2

Объединим $\frac{\cos (2 x)}{2}$ и $\sec (x)$ .

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 10.6

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 10.7

Разделим дроби.

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = 0$

Этап 10.8

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - (\frac{\sin (x)}{1} \tan (x)) = 0$

Этап 10.9

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - \sin (x) \tan (x) = 0$

Этап 11

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$1 - \frac{\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}}{2} - \sin (x) \tan (x) = 0$

Этап 11.1.2

Объединим $\cos (2 x)$ и $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 - \frac{\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}}{2} - \sin (x) \tan (x) = 0$

Этап 11.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 - (\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (x) \tan (x) = 0$

Этап 11.1.4

Умножим $\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{2}$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) \cdot 2} - \sin (x) \tan (x) = 0$

Этап 11.1.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (x)$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cdot \cos (x)} - \sin (x) \tan (x) = 0$

Этап 11.1.6

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 11.1.7

Умножим $- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.7.1

Объединим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 11.1.7.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 11.1.7.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 11.1.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} = 0$

Этап 11.1.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 12

Умножим обе части уравнения на $\cos (x)$ .

$\cos (x) (1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 13

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)}) + \cos (x) (- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) + \cos (x) (- \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)}) + \cos (x) (- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 14.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos (x) - \cos (x) \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 14.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos (x) - \cos (x) \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- \cos (x)$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 15.1.2

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $2 \cos (x)$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) \cdot 2} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 15.1.3

Сократим общий множитель.

$\cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) \cdot 2} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 15.1.4

Перепишем это выражение.

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 15.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- \cos (x)$ .

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 15.2.2

Сократим общий множитель.

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 15.2.3

Перепишем это выражение.

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} - \sin^{2} (x) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 16

Умножим $\cos (x)$ на $0$ .

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Этап 17

Заменим $\sin^{2} (x)$ на $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 18

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$\cos (x) - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 19

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Упростим $\cos (x) - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - (1 - \cos^{2} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1

Применим формулу Пифагора.

$\cos (x) - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Этап 19.1.2

Чтобы записать $\cos (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Этап 19.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.3.1

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 2}{2} - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Этап 19.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (x) \cdot 2 - (1 - 2 \sin^{2} (x))}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Этап 19.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.4.1

Перенесем $2$ влево от $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cdot \cos (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x))}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Этап 19.1.4.2

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\frac{2 \cos (x) - \cos (2 x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Этап 19.1.4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.4.3.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\frac{2 \cos (x) - (2 \cos^{2} (x) - 1)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Этап 19.1.4.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cos (x) - (2 \cos^{2} (x)) - - 1}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Этап 19.1.4.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) - - 1}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Этап 19.1.4.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Этап 19.1.5

Чтобы записать $- \sin^{2} (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1}{2} - \sin^{2} (x) \cdot \frac{2}{2} = 0$

Этап 19.1.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.6.1

Объединим $- \sin^{2} (x)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1}{2} + \frac{- \sin^{2} (x) \cdot 2}{2} = 0$

Этап 19.1.6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1 - \sin^{2} (x) \cdot 2}{2} = 0$

Этап 19.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} = 0$

Этап 19.1.7.2

Перенесем $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 1}{2} = 0$

Этап 19.1.7.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 (\cos^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) + 1}{2} = 0$

Этап 19.1.7.4

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 (\cos^{2} (x)) - 2 (\sin^{2} (x)) + 1}{2} = 0$

Этап 19.1.7.5

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (\cos^{2} (x)) - 2 (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 1}{2} = 0$

Этап 19.1.7.6

Переставляем члены.

$\frac{2 \cos (x) - 2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 1}{2} = 0$

Этап 19.1.7.7

Применим формулу Пифагора.

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cdot 1 + 1}{2} = 0$

Этап 19.1.7.8

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 + 1}{2} = 0$

Этап 19.1.7.9

Добавим $- 2$ и $1$ .

$\frac{2 \cos (x) - 1}{2} = 0$

Этап 20

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Приравняем числитель к нулю.

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 20.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \cos (x) = 1$

Этап 20.2.2

Разделим каждый член $2 \cos (x) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.2.1

Разделим каждый член $2 \cos (x) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 20.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 20.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Этап 20.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 20.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.4.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 20.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 20.2.6

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 20.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 20.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 20.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.6.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 20.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 20.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 20.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 20.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 20.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 20.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$