Тригонометрия Примеры

$\csc (x) - 1 = \frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x) + 1}$

Этап 1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$\frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x) + 1} + 1 = \csc (x)$

Этап 2

Заменим $\cot^{2} (x)$ на $\csc^{2} (x) - 1$ на основе тождества $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + 1 = \csc (x)$

Этап 3

Объединим противоположные члены в $\csc^{2} (x) - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\csc^{2} (x) + 0 = \csc (x)$

Этап 3.2

Добавим $\csc^{2} (x)$ и $0$ .

$\csc^{2} (x) = \csc (x)$

Этап 4

Подставим $u$ вместо $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} = u$

Этап 5

Вычтем $u$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} - u = 0$

Этап 6

Вынесем множитель $u$ из $u^{2} - u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$u \cdot u - u = 0$

Этап 6.2

Вынесем множитель $u$ из $- u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 1 = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u + u \cdot - 1$ .

$u (u - 1) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u = 0$

$u - 1 = 0$

Этап 8

Приравняем $u$ к $0$ .

$u = 0$

Этап 9

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 9.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $u (u - 1) = 0$ верно.

$u = 0, 1$

Этап 11

Подставим $\csc (x)$ вместо $u$ .

$\csc (x) = 0, 1$

Этап 12

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\csc (x) = 0$

$\csc (x) = 1$

Этап 13

Решим относительно $x$ в $\csc (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Множество значений косеканса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 14

Решим относительно $x$ в $\csc (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (1)$

Этап 14.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Точное значение $arccsc (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 14.3

Функция косеканса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 14.4

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 14.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 14.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 14.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 14.4.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 14.5

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 14.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 14.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 14.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 14.6

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$