Тригонометрия Примеры

$\csc (x) \cdot \sec (x) = \cot (x) + \tan (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\csc (x) \cdot \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \sec (x) = \cot (x) + \tan (x)$

Этап 1.1.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \cot (x) + \tan (x)$

Этап 1.1.3

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) \cos (x)} = \cot (x) + \tan (x)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\sin (x) \cos (x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \tan (x)$

Этап 2.1.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\sin (x) \cos (x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos (x)} = \sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 4

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x) (\cos (x))} = \sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 4.2

Сократим общий множитель.

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos (x)} = \sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\cos (x)} = \sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos (x)} = \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\cos (x)} = \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7

Умножим $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Этап 7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 8

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $\cos (x)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 8.2

Вычтем $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 9

Упростим $\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \cos (x) + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 9.2

Применим формулу Пифагора.

$- \cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $\cos^{2} (x)$ и $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$- \cos (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 9.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Умножим на $1$ .

$- \cos (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} = 0$

Этап 9.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \cos (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} = 0$

Этап 9.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \cos (x) + \frac{\cos (x)}{1} = 0$

Этап 9.3.2.4

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$- \cos (x) + \cos (x) = 0$

Этап 9.4

Добавим $- \cos (x)$ и $\cos (x)$ .

$0 = 0$

Этап 10

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $x$ .

Все вещественные числа

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$