Тригонометрия Примеры

$\cot (x) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$

Этап 1

Умножим обе части на $1 - \cos (2 x)$ .

$\cot (x) (1 - \cos (2 x)) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $\cot (x) (1 - \cos (2 x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (1 - \cos (2 x)) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Этап 2.1.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (2 x)) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Этап 2.1.1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.2.1

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (2 x)) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Этап 2.1.1.2.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (2 x) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Этап 2.1.1.2.3

Объединим $\cos (2 x)$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Этап 2.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\cot (x) - \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Этап 2.1.1.3.2

Разделим дроби.

$\cot (x) - (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Этап 2.1.1.3.3

Перепишем $\frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ в виде произведения.

$\cot (x) - (\frac{\cos (x)}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\sin (x)})) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Этап 2.1.1.3.4

Запишем $\cos (2 x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\cot (x) - (\frac{\cos (x)}{1} (\frac{\cos (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Этап 2.1.1.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.5.1

Разделим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$\cot (x) - (\frac{\cos (x)}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\sin (x)})) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Этап 2.1.1.3.5.2

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\cot (x) - (\frac{\cos (x)}{1} (\cos (2 x) \csc (x))) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Этап 2.1.1.3.6

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cot (x) - \cos (x) \cos (2 x) \csc (x) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $1 - \cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\cot (x) - \cos (x) \cos (2 x) \csc (x) = \frac{\sin (2 x)}{1 - \cos (2 x)} (1 - \cos (2 x))$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\cot (x) - \cos (x) \cos (2 x) \csc (x) = \sin (2 x)$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) \cos (2 x) \csc (x) = \sin (2 x)$

Этап 3.1.1.2

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) \cos (2 x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (2 x)$

Этап 3.1.1.3

Умножим $- \cos (x) \cos (2 x) \frac{1}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Объединим $\frac{1}{\sin (x)}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (2 x) = \sin (2 x)$

Этап 3.1.1.3.2

Объединим $\cos (2 x)$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)} = \sin (2 x)$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \sin (2 x)$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) (- \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \sin (2 x)$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) (- \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \sin (2 x)$

Этап 3.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (x) + \sin (x) (- \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \sin (2 x)$

Этап 3.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos (x) - \sin (x) \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sin (2 x)$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- \sin (x)$ .

$\cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sin (2 x)$

Этап 3.6.2

Сократим общий множитель.

$\cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sin (2 x)$

Этап 3.6.3

Перепишем это выражение.

$\cos (x) - (\cos (2 x) \cos (x)) = \sin (x) \sin (2 x)$

$\cos (x) - \cos (2 x) \cos (x) = \sin (x) \sin (2 x)$

Этап 3.7

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$\cos (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) \cos (x) = \sin (x) \sin (2 x)$

Этап 3.8

Вычтем $\sin (x) \sin (2 x)$ из обеих частей уравнения.

$\cos (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) \cos (x) - \sin (x) \sin (2 x) = 0$

Этап 3.9

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Упростим $\cos (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) \cos (x) - \sin (x) \sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) + (- 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x))) \cos (x) - \sin (x) \sin (2 x) = 0$

Этап 3.9.1.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\cos (x) + (- 1 - (- 2 \sin^{2} (x))) \cos (x) - \sin (x) \sin (2 x) = 0$

Этап 3.9.1.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\cos (x) + (- 1 + 2 \sin^{2} (x)) \cos (x) - \sin (x) \sin (2 x) = 0$

Этап 3.9.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) - 1 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (2 x) = 0$

Этап 3.9.1.1.5

Перепишем $- 1 \cos (x)$ в виде $- \cos (x)$ .

$\cos (x) - \cos (x) + 2 \sin^{2} (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (2 x) = 0$

Этап 3.9.1.1.6

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\cos (x) - \cos (x) + 2 \sin^{2} (x) \cos (x) - \sin (x) (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Этап 3.9.1.1.7

Умножим $- \sin (x) (2 \sin (x) \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1.7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\cos (x) - \cos (x) + 2 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \sin (x) (\sin (x) \cos (x)) = 0$

Этап 3.9.1.1.7.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos (x) - \cos (x) + 2 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x) = 0$

Этап 3.9.1.1.7.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos (x) - \cos (x) + 2 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) = 0$

Этап 3.9.1.1.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (x) - \cos (x) + 2 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) = 0$

Этап 3.9.1.1.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (x) - \cos (x) + 2 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Этап 3.9.1.2

Объединим противоположные члены в $\cos (x) - \cos (x) + 2 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.2.1

Вычтем $\cos (x)$ из $\cos (x)$ .

$0 + 2 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Этап 3.9.1.2.2

Вычтем $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ из $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$0 + 0 = 0$

Этап 3.9.1.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$0 = 0$

Этап 3.10

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $x$ .

Все вещественные числа

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$