Тригонометрия Примеры

$\sqrt{1 - \cos^{2} (x)} = - \sin (x)$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}^{2} = {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}$ в виде ${(1 - \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(1 - \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим формулу Пифагора.

${({(\sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(\sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 2.2.1.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(\sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 2.2.1.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(\sin^{2} (x))}^{1} = {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 2.2.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(\sin^{2} (x))}^{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sin (x)}^{2 \cdot 1} = {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 2.2.1.2.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\sin^{2} (x) = {(- \sin (x))}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(- \sin (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило умножения к $- \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) = {(- 1)}^{2} \sin^{2} (x)$

Этап 2.3.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\sin^{2} (x) = 1 \sin^{2} (x)$

Этап 2.3.1.3

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $1$ .

$\sin^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку экспоненты равны, основания экспонент в обеих частях уравнения должны быть равны.

$| \sin (x) | = | \sin (x) |$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

$- \sin (x) = \sin (x)$

$- \sin (x) = - \sin (x)$

Этап 3.2.2

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

Этап 3.2.3

Решим $\sin (x) = \sin (x)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы две функции были равны, аргументы каждой из них должны быть одинаковыми.

$x = x$

Этап 3.2.3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x - x = 0$

Этап 3.2.3.2.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$0 = 0$

Этап 3.2.3.3

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным.

Все вещественные числа

Этап 3.2.4

Решим $\sin (x) = - \sin (x)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Перенесем все члены с $\sin (x)$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Добавим $\sin (x)$ к обеим частям уравнения.

$\sin (x) + \sin (x) = 0$

Этап 3.2.4.1.2

Добавим $\sin (x)$ и $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) = 0$

Этап 3.2.4.2

Разделим каждый член $2 \sin (x) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (x) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.2.4.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

Этап 3.2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 3.2.4.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 3.2.4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.4.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 3.2.4.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 3.2.4.6

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 3.2.4.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.4.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.4.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.4.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2.4.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$