Тригонометрия Примеры

$\frac{\tan^{2} (x)}{\sec (x)} = \sec (x) - \cos (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{\tan^{2} (x)}{\sec (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим дроби.

$\frac{\tan^{2} (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} = \sec (x) - \cos (x)$

Этап 1.1.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\tan^{2} (x)}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} = \sec (x) - \cos (x)$

Этап 1.1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\tan^{2} (x)}{1} (1 \cos (x)) = \sec (x) - \cos (x)$

Этап 1.1.4

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x)}{1} \cos (x) = \sec (x) - \cos (x)$

Этап 1.1.5

Разделим $\tan^{2} (x)$ на $1$ .

$\tan^{2} (x) \cos (x) = \sec (x) - \cos (x)$

Этап 1.1.6

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) = \sec (x) - \cos (x)$

Этап 1.1.7

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos (x) = \sec (x) - \cos (x)$

Этап 1.1.8

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) = \sec (x) - \cos (x)$

Этап 1.1.8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) = \sec (x) - \cos (x)$

Этап 1.1.8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \sec (x) - \cos (x)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$

Этап 4

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$\sin^{2} (x) = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$

Этап 5

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin^{2} (x) = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 6

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\sin^{2} (x) = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$\sin^{2} (x) = 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) \cos (x)$

Этап 8

Умножим $- \cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\sin^{2} (x) = 1 - (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Этап 8.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\sin^{2} (x) = 1 - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Этап 8.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin^{2} (x) = 1 - {\cos (x)}^{1 + 1}$

Этап 8.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin^{2} (x) = 1 - \cos^{2} (x)$

Этап 9

Применим формулу Пифагора.

$\sin^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

Этап 10

Поскольку экспоненты равны, основания экспонент в обеих частях уравнения должны быть равны.

$| \sin (x) | = | \sin (x) |$

Этап 11

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

$- \sin (x) = \sin (x)$

$- \sin (x) = - \sin (x)$

Этап 11.2

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

Этап 11.3

Решим $\sin (x) = \sin (x)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Чтобы две функции были равны, аргументы каждой из них должны быть одинаковыми.

$x = x$

Этап 11.3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x - x = 0$

Этап 11.3.2.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$0 = 0$

Этап 11.3.3

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным.

Все вещественные числа

Этап 11.4

Решим $\sin (x) = - \sin (x)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Перенесем все члены с $\sin (x)$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1.1

Добавим $\sin (x)$ к обеим частям уравнения.

$\sin (x) + \sin (x) = 0$

Этап 11.4.1.2

Добавим $\sin (x)$ и $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) = 0$

Этап 11.4.2

Разделим каждый член $2 \sin (x) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (x) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 11.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 11.4.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

Этап 11.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 11.4.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 11.4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.4.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 11.4.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 11.4.6

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 11.4.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 11.4.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 11.4.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 11.4.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 11.4.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$