Тригонометрия Примеры

$f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ в виде уравнения.

$y = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} = x$ .

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части на $20 e^{y} + 15$ .

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} (20 e^{y} + 15) = x (20 e^{y} + 15)$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $20 e^{y} + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} (20 e^{y} + 15) = x (20 e^{y} + 15)$

Этап 3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$3 e^{y} - 8 = x (20 e^{y} + 15)$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим $x (20 e^{y} + 15)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 e^{y} - 8 = x (20 e^{y}) + x \cdot 15$

Этап 3.3.2.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 e^{y} - 8 = 20 x e^{y} + x \cdot 15$

Этап 3.3.2.1.2.2

Перенесем $15$ влево от $x$ .

$3 e^{y} - 8 = 20 x e^{y} + 15 x$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $20 x e^{y}$ из обеих частей уравнения.

$3 e^{y} - 8 - 20 x e^{y} = 15 x$

Этап 3.4.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$3 e^{y} - 20 x e^{y} = 15 x + 8$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $e^{y}$ из $3 e^{y} - 20 x e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $e^{y}$ из $3 e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 3 - 20 x e^{y} = 15 x + 8$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $e^{y}$ из $- 20 x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 20 x) = 15 x + 8$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $e^{y}$ из $e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 20 x)$ .

$e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$ на $3 - 20 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$ на $3 - 20 x$ .

$\frac{e^{y} (3 - 20 x)}{3 - 20 x} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $3 - 20 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{y} (3 - 20 x)}{3 - 20 x} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $e^{y}$ на $1$ .

$e^{y} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{y} = \frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$

Этап 3.4.5

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Этап 3.4.6

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Этап 3.4.6.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Этап 3.4.6.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$ обратной к $f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

Этап 5.2.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $5$ из $20 e^{x} + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $20 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 15}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

Этап 5.2.3.1.2

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 5 (3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

Этап 5.2.3.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (4 e^{x}) + 5 (3)$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

Этап 5.2.3.2

Вынесем множитель $5$ из $20 e^{x} + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $20 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 15}})$

Этап 5.2.3.2.2

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 5 (3)}})$

Этап 5.2.3.2.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (4 e^{x}) + 5 (3)$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Этап 5.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{5 (3) (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Этап 5.2.4.1.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{5 \cdot (3 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Этап 5.2.4.1.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{3 (\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Этап 5.2.4.2

Объединим $3$ и $\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3} + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Этап 5.2.4.3

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4 e^{x} + 3}{4 e^{x} + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3} + \frac{8 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Этап 5.2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8) + 8 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Этап 5.2.4.5

Изменим порядок членов.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{8 (4 e^{x} + 3) + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Этап 5.2.4.6

Перепишем $\frac{8 (4 e^{x} + 3) + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{8 (4 e^{x}) + 8 \cdot 3 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Этап 5.2.4.6.2

Умножим $4$ на $8$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 8 \cdot 3 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Этап 5.2.4.6.3

Умножим $8$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Этап 5.2.4.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 3 (3 e^{x}) + 3 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Этап 5.2.4.6.5

Умножим $3$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 9 e^{x} + 3 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Этап 5.2.4.6.6

Умножим $3$ на $- 8$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 9 e^{x} - 24}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Этап 5.2.4.6.7

Добавим $32 e^{x}$ и $9 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x} + 24 - 24}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Этап 5.2.4.6.8

Вычтем $24$ из $24$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x} + 0}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Этап 5.2.4.6.9

Добавим $41 e^{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Этап 5.2.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 20$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + 5 (- 4) (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})})$

Этап 5.2.5.1.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + 5 \cdot (- 4 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})})$

Этап 5.2.5.1.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - 4 \frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}})$

Этап 5.2.5.2

Объединим $- 4$ и $\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + \frac{- 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Этап 5.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - \frac{4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Этап 5.2.5.4

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4 e^{x} + 3}{4 e^{x} + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3} - \frac{4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Этап 5.2.5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x} + 3) - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Этап 5.2.5.6

Перепишем $\frac{3 (4 e^{x} + 3) - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x}) + 3 \cdot 3 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Этап 5.2.5.6.2

Умножим $4$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 3 \cdot 3 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Этап 5.2.5.6.3

Умножим $3$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Этап 5.2.5.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 4 (3 e^{x}) - 4 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}})$

Этап 5.2.5.6.5

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 12 e^{x} - 4 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}})$

Этап 5.2.5.6.6

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 12 e^{x} + 32}{4 e^{x} + 3}})$

Этап 5.2.5.6.7

Вычтем $12 e^{x}$ из $12 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{0 + 9 + 32}{4 e^{x} + 3}})$

Этап 5.2.5.6.8

Добавим $0$ и $9$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{9 + 32}{4 e^{x} + 3}})$

Этап 5.2.5.6.9

Добавим $9$ и $32$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{41}{4 e^{x} + 3}})$

Этап 5.2.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

Этап 5.2.7

Сократим общий множитель $41$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Вынесем множитель $41$ из $41 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 (e^{x})}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

Этап 5.2.7.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

Этап 5.2.7.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot (4 e^{x} + 3))$

Этап 5.2.8

Сократим общий множитель $4 e^{x} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot (4 e^{x} + 3))$

Этап 5.2.8.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (e^{x})$

Этап 5.2.9

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x \ln (e)$

Этап 5.2.10

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x \cdot 1$

Этап 5.2.11

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{3 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{3 (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}) - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Этап 5.3.3.2

Объединим $3$ и $\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Этап 5.3.3.3

Чтобы записать $- 8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} - 8 \cdot \frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Этап 5.3.3.4

Объединим $- 8$ и $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + \frac{- 8 (3 - 20 x)}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Этап 5.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Этап 5.3.3.6

Изменим порядок членов.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Этап 5.3.3.7

Перепишем $\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x) + 3 \cdot 8 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Этап 5.3.3.7.2

Умножим $15$ на $3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 3 \cdot 8 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Этап 5.3.3.7.3

Умножим $3$ на $8$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Этап 5.3.3.7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 8 \cdot 3 - 8 (- 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Этап 5.3.3.7.5

Умножим $- 8$ на $3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 24 - 8 (- 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Этап 5.3.3.7.6

Умножим $- 20$ на $- 8$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 24 + 160 x}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Этап 5.3.3.7.7

Добавим $45 x$ и $160 x$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x + 24 - 24}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Этап 5.3.3.7.8

Вычтем $24$ из $24$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x + 0}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Этап 5.3.3.7.9

Добавим $205 x$ и $0$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $5$ из $20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Вынесем множитель $5$ из $20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 15}$

Этап 5.3.4.1.2

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 5 (3)}$

Этап 5.3.4.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 5 (3)$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 3)}$

Этап 5.3.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}) + 3)}$

Этап 5.3.4.3

Объединим $4$ и $\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + 3)}$

Этап 5.3.4.4

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + \frac{3 (3 - 20 x)}{3 - 20 x})}$

Этап 5.3.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{3 - 20 x})}$

Этап 5.3.4.6

Изменим порядок членов.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Этап 5.3.4.7

Перепишем $\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x) + 4 \cdot 8 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Этап 5.3.4.7.2

Умножим $15$ на $4$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 4 \cdot 8 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Этап 5.3.4.7.3

Умножим $4$ на $8$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Этап 5.3.4.7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 3 \cdot 3 + 3 (- 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Этап 5.3.4.7.5

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 9 + 3 (- 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Этап 5.3.4.7.6

Умножим $- 20$ на $3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 9 - 60 x}{- 20 x + 3})}$

Этап 5.3.4.7.7

Вычтем $60 x$ из $60 x$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{0 + 32 + 9}{- 20 x + 3})}$

Этап 5.3.4.7.8

Добавим $0$ и $32$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{32 + 9}{- 20 x + 3})}$

Этап 5.3.4.7.9

Добавим $32$ и $9$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{41}{- 20 x + 3})}$

Этап 5.3.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Объединим $5$ и $\frac{41}{- 20 x + 3}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{\frac{5 \cdot 41}{- 20 x + 3}}$

Этап 5.3.5.2

Умножим $5$ на $41$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{\frac{205}{- 20 x + 3}}$

Этап 5.3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 x}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $205$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Вынесем множитель $205$ из $205 x$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 (x)}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

Этап 5.3.7.2

Сократим общий множитель.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 x}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

Этап 5.3.7.3

Перепишем это выражение.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x}{- 20 x + 3} \cdot (- 20 x + 3)$

Этап 5.3.8

Умножим $\frac{x}{- 20 x + 3}$ на $- 20 x + 3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x (- 20 x + 3)}{- 20 x + 3}$

Этап 5.3.9

Сократим общий множитель $- 20 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Сократим общий множитель.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x (- 20 x + 3)}{- 20 x + 3}$

Этап 5.3.9.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$ — обратная к $f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$