Тригонометрия Примеры

$\tan (x) \sin^{2} (x) = \tan (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\tan (x) \sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin^{2} (x) = \tan (x)$

Этап 1.1.2

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Объединим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ и $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \tan (x)$

Этап 1.1.2.2

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \tan (x)$

Этап 1.1.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 2}}{\cos (x)} = \tan (x)$

Этап 1.1.2.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} = \tan (x)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 4

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) \frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$\sin^{3} (x) = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 5

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$\sin^{3} (x) = \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 5.2

Перепишем это выражение.

$\sin^{3} (x) = \sin (x)$

Этап 6

Вычтем $\sin (x)$ из обеих частей уравнения.

$\sin^{3} (x) - \sin (x) = 0$

Этап 7

Разложим $\sin^{3} (x) - \sin (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{3} (x) - \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{3} (x)$ .

$\sin (x) \sin^{2} (x) - \sin (x) = 0$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- \sin (x)$ .

$\sin (x) \sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 7.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sin (x) (\sin^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Этап 7.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \sin (x)$ и $b = 1$ .

$\sin (x) ((\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1)) = 0$

Этап 7.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\sin (x) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Этап 8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Этап 9

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 9.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 9.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 9.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 9.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 9.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 9.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 9.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 9.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 9.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Приравняем $\sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $\sin (x) + 1$ к $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Этап 10.2

Решим $\sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) = - 1$

Этап 10.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 10.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 10.2.4

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 10.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 10.2.5.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 10.2.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 10.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 10.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 10.2.7

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.7.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 10.2.7.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 10.2.7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.7.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 10.2.7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 10.2.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.7.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 10.2.7.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 10.2.7.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 10.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Приравняем $\sin (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $\sin (x) - 1$ к $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Этап 11.2

Решим $\sin (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\sin (x) = 1$

Этап 11.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (1)$

Этап 11.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 11.2.4

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 11.2.5

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 11.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 11.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 11.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 11.2.5.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 11.2.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 11.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 11.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 11.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 11.2.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (x) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$