Тригонометрия Примеры

$\csc (x) (3 \cot^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\csc (x) = 0$

$3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 2

Приравняем $\csc (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $\csc (x)$ к $0$ .

$\csc (x) = 0$

Этап 2.2

Множество значений косеканса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 3

Приравняем $3 \cot^{2} (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $3 \cot^{2} (x) - 1$ к $0$ .

$3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 \cot^{2} (x) = 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $3 \cot^{2} (x) = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $3 \cot^{2} (x) = 1$ на $3$ .

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $\cot^{2} (x)$ на $1$ .

$\cot^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Этап 3.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.4.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 3.2.4.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 3.2.4.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 3.2.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 3.2.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 3.2.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.2.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.2.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.2.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 3.2.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3.2.6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3.2.7

Решим относительно $x$ в $\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 3.2.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1

Точное значение $arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 3.2.7.3

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{3}$

Этап 3.2.7.4

Упростим $π + \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 3.2.7.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 3.2.7.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Этап 3.2.7.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.4.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Этап 3.2.7.4.3.2

Добавим $3 π$ и $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 3.2.7.5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 3.2.7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 3.2.7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 3.2.7.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.2.7.6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.2.8

Решим относительно $x$ в $\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 3.2.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.1

Точное значение $arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 3.2.8.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{2 π}{3} - π$

Этап 3.2.8.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.4.1

Добавим $2 π$ к $\frac{2 π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3} - π + 2 π$

Этап 3.2.8.4.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{3}$ является положительным и отличается от $\frac{2 π}{3} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 3.2.8.5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 3.2.8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 3.2.8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 3.2.8.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.2.8.6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.2.9

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.2.10

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Объединим $\frac{π}{3} + π n$ и $\frac{4 π}{3} + π n$ в $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.2.10.2

Объединим $\frac{2 π}{3} + π n$ и $\frac{5 π}{3} + π n$ в $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Окончательным решением являются все значения, при которых $\csc (x) (3 \cot^{2} (x) - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$