Тригонометрия Примеры

\csc (x) (3 \cot^{2} (x) - 1) = 0

$\csc (x) (3 \cot^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

\csc (x) = 0

$\csc (x) = 0$

3 \cot^{2} (x) - 1 = 0

$3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 2

Приравняем

\csc (x)

$\csc (x)$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем

\csc (x)

$\csc (x)$ к

0

$0$ .

\csc (x) = 0

$\csc (x) = 0$

Этап 2.2

Множество значений косеканса:

y \leq - 1

$y \leq - 1$ и

y \geq 1

$y \geq 1$ . Поскольку

0

$0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 3

Приравняем

3 \cot^{2} (x) - 1

$3 \cot^{2} (x) - 1$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем

3 \cot^{2} (x) - 1

$3 \cot^{2} (x) - 1$ к

0

$0$ .

3 \cot^{2} (x) - 1 = 0

$3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим

3 \cot^{2} (x) - 1 = 0

$3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$ относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим

1

$1$ к обеим частям уравнения.

3 \cot^{2} (x) = 1

$3 \cot^{2} (x) = 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член

3 \cot^{2} (x) = 1

$3 \cot^{2} (x) = 1$ на

3

$3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член

3 \cot^{2} (x) = 1

$3 \cot^{2} (x) = 1$ на

3

$3$ .

\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим

\cot^{2} (x)

$\cot^{2} (x)$ на

1

$1$ .

\cot^{2} (x) = \frac{1}{3}

$\cot^{2} (x) = \frac{1}{3}$

\cot^{2} (x) = \frac{1}{3}

$\cot^{2} (x) = \frac{1}{3}$

\cot^{2} (x) = \frac{1}{3}

$\cot^{2} (x) = \frac{1}{3}$

\cot^{2} (x) = \frac{1}{3}

$\cot^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

\cot (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}

$\cot (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Этап 3.2.4

Упростим

\pm \sqrt{\frac{1}{3}}

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Перепишем

\sqrt{\frac{1}{3}}

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде

\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.4.2

Любой корень из

1

$1$ равен

1

$1$ .

\cot (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}

$\cot (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.4.3

Умножим

\frac{1}{\sqrt{3}}

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ на

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

\cot (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\cot (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.4.1

Умножим

\frac{1}{\sqrt{3}}

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ на

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 3.2.4.4.2

Возведем

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ в степень

1

$1$ .

\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 3.2.4.4.3

Возведем

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ в степень

1

$1$ .

\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 3.2.4.4.4

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 3.2.4.4.5

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 3.2.4.4.6

Перепишем

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ в виде

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.4.6.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ в виде

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.2.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2.4.4.6.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

2

$2$ .

\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.2.4.4.6.4

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.2.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 3.2.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения

\pm

$\pm$ найдем первое решение.

\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение

\pm

$\pm$ , найдем второе решение.

\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3.2.6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для

x

$x$ .

\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3.2.7

Решим относительно

x

$x$ в

\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из котангенса.

x = arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})

$x = arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 3.2.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1

Точное значение

arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})

$arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$ :

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ .

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$

Этап 3.2.7.3

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из

π

$π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

x = π + \frac{π}{3}

$x = π + \frac{π}{3}$

Этап 3.2.7.4

Упростим

π + \frac{π}{3}

$π + \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.4.1

Чтобы записать

π

$π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 3.2.7.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.4.2.1

Объединим

π

$π$ и

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 3.2.7.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Этап 3.2.7.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.4.3.1

Перенесем

3

$3$ влево от

π

$π$ .

x = \frac{3 \cdot π + π}{3}

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Этап 3.2.7.4.3.2

Добавим

3 π

$3 π$ и

π

$π$ .

x = \frac{4 π}{3}

$x = \frac{4 π}{3}$

x = \frac{4 π}{3}

$x = \frac{4 π}{3}$

x = \frac{4 π}{3}

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 3.2.7.5

Найдем период

\cot (x)

$\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$ .

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$

Этап 3.2.7.5.2

Заменим

b

$b$ на

1

$1$ в формуле периода.

\frac{π}{| 1 |}

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 3.2.7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

1

$1$ равно

1

$1$ .

\frac{π}{1}

$\frac{π}{1}$

Этап 3.2.7.5.4

Разделим

π

$π$ на

1

$1$ .

π

$π$

π

$π$

Этап 3.2.7.6

Период функции

\cot (x)

$\cot (x)$ равен

π

$π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

π

$π$ рад. в обоих направлениях.

x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , для любого целого

n

$n$

x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 3.2.8

Решим относительно

x

$x$ в

\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из котангенса.

x = arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})

$x = arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 3.2.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.1

Точное значение

arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})

$arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ :

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$ .

x = \frac{2 π}{3}

$x = \frac{2 π}{3}$

x = \frac{2 π}{3}

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 3.2.8.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from

π

$π$ to find the solution in the third quadrant.

x = \frac{2 π}{3} - π

$x = \frac{2 π}{3} - π$

Этап 3.2.8.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.4.1

Добавим

2 π

$2 π$ к

\frac{2 π}{3} - π

$\frac{2 π}{3} - π$ .

x = \frac{2 π}{3} - π + 2 π

$x = \frac{2 π}{3} - π + 2 π$

Этап 3.2.8.4.2

Результирующий угол

\frac{5 π}{3}

$\frac{5 π}{3}$ является положительным и отличается от

\frac{2 π}{3} - π

$\frac{2 π}{3} - π$ на полный оборот.

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 3.2.8.5

Найдем период

\cot (x)

$\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$ .

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$

Этап 3.2.8.5.2

Заменим

b

$b$ на

1

$1$ в формуле периода.

\frac{π}{| 1 |}

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 3.2.8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

1

$1$ равно

1

$1$ .

\frac{π}{1}

$\frac{π}{1}$

Этап 3.2.8.5.4

Разделим

π

$π$ на

1

$1$ .

π

$π$

π

$π$

Этап 3.2.8.6

Период функции

\cot (x)

$\cot (x)$ равен

π

$π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

π

$π$ рад. в обоих направлениях.

x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , для любого целого

n

$n$

x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 3.2.9

Перечислим все решения.

x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 3.2.10

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Объединим

\frac{π}{3} + π n

$\frac{π}{3} + π n$ и

\frac{4 π}{3} + π n

$\frac{4 π}{3} + π n$ в

\frac{π}{3} + π n

$\frac{π}{3} + π n$ .

x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 3.2.10.2

Объединим

\frac{2 π}{3} + π n

$\frac{2 π}{3} + π n$ и

\frac{5 π}{3} + π n

$\frac{5 π}{3} + π n$ в

\frac{2 π}{3} + π n

$\frac{2 π}{3} + π n$ .

x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого

n

$n$

x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого

n

$n$

x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого

n

$n$

x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 4

Окончательным решением являются все значения, при которых

\csc (x) (3 \cot^{2} (x) - 1) = 0

$\csc (x) (3 \cot^{2} (x) - 1) = 0$ верно.

x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого

n

$n$