Тригонометрия Примеры

arccos (x) + arccos (2 x) = \frac{π}{3}

$\arccos (x) + \arccos (2 x) = \frac{π}{3}$

Этап 1

Если

a = b

$a = b$ , то

cos (a) = cos (b)

$\cos (a) = \cos (b)$ .

cos (arccos (x) + arccos (2 x)) = cos (\frac{π}{3})

$\cos (\arccos (x) + \arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим формулу для суммы углов

cos (x + y) = cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y)

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

cos (arccos (x)) cos (arccos (2 x)) - sin (arccos (x)) sin (arccos (2 x)) = cos (\frac{π}{3})

$\cos (\arccos (x)) \cos (\arccos (2 x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Косинус и арккосинус — обратные функции.

x cos (arccos (2 x)) - sin (arccos (x)) sin (arccos (2 x)) = cos (\frac{π}{3})

$x \cos (\arccos (2 x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.2

Косинус и арккосинус — обратные функции.

x (2 x) - sin (arccos (x)) sin (arccos (2 x)) = cos (\frac{π}{3})

$x (2 x) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

2 x \cdot x - sin (arccos (x)) sin (arccos (2 x)) = cos (\frac{π}{3})

$2 x \cdot x - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.4

Умножим

x

$x$ на

x

$x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Перенесем

x

$x$ .

2 (x \cdot x) - sin (arccos (x)) sin (arccos (2 x)) = cos (\frac{π}{3})

$2 (x \cdot x) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.4.2

Умножим

x

$x$ на

x

$x$ .

2 x^{2} - sin (arccos (x)) sin (arccos (2 x)) = cos (\frac{π}{3})

$2 x^{2} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

2 x^{2} - sin (arccos (x)) sin (arccos (2 x)) = cos (\frac{π}{3})

$2 x^{2} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.5

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках

(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})

$(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ ,

(x, 0)

$(x, 0)$ и начале координат. Тогда

arccos (x)

$\arccos (x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку

(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})

$(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Следовательно,

sin (arccos (x))

$\sin (\arccos (x))$ равно

\sqrt{1 - x^{2}}

$\sqrt{1 - x^{2}}$ .

2 x^{2} - \sqrt{1 - x^{2}} sin (arccos (2 x)) = cos (\frac{π}{3})

$2 x^{2} - \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.6

Перепишем

1

$1$ в виде

1^{2}

$1^{2}$ .

2 x^{2} - \sqrt{1^{2} - x^{2}} sin (arccos (2 x)) = cos (\frac{π}{3})

$2 x^{2} - \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = 1

$a = 1$ и

b = x

$b = x$ .

2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} sin (arccos (2 x)) = cos (\frac{π}{3})

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.8

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках

(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})

$(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ ,

(2 x, 0)

$(2 x, 0)$ и начале координат. Тогда

arccos (2 x)

$\arccos (2 x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку

(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})

$(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ . Следовательно,

sin (arccos (2 x))

$\sin (\arccos (2 x))$ равно

\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}

$\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$ .

2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}} = cos (\frac{π}{3})

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}} = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.9

Перепишем

1

$1$ в виде

1^{2}

$1^{2}$ .

2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}} = cos (\frac{π}{3})

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}} = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.10

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = 1

$a = 1$ и

b = 2 x

$b = 2 x$ .

2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))} = cos (\frac{π}{3})

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))} = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.11

Умножим

2

$2$ на

- 1

$- 1$ .

2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} = cos (\frac{π}{3})

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.12

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = cos (\frac{π}{3})

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = \cos (\frac{π}{3})$

2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = cos (\frac{π}{3})

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = \cos (\frac{π}{3})$

2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = cos (\frac{π}{3})

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 3

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение

cos (\frac{π}{3})

$\cos (\frac{π}{3})$ :

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = \frac{1}{2}

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = \frac{1}{2}$

2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = \frac{1}{2}

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = \frac{1}{2}$

Этап 4

Решим уравнение относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают

arccos (x) + arccos (2 x) = \frac{π}{3}

$\arccos (x) + \arccos (2 x) = \frac{π}{3}$ истинным.

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

x = 0.5

$x = 0.5$