Тригонометрия Примеры

$\arccos (x) + \arccos (2 x) = \frac{π}{3}$

Этап 1

Если $a = b$ , то $\cos (a) = \cos (b)$ .

$\cos (\arccos (x) + \arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим формулу для суммы углов $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\arccos (x)) \cos (\arccos (2 x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$x \cos (\arccos (2 x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.2

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$x (2 x) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x \cdot x - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.5

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ и начале координат. Тогда $\arccos (x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Следовательно, $\sin (\arccos (x))$ равно $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.6

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.8

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ , $(2 x, 0)$ и начале координат. Тогда $\arccos (2 x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ . Следовательно, $\sin (\arccos (2 x))$ равно $\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}} = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.9

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}} = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.10

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = 2 x$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))} = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.11

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.12

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 3

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = \frac{1}{2}$

Этап 4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\arccos (x) + \arccos (2 x) = \frac{π}{3}$ истинным.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$x = 0.5$