Тригонометрия Примеры

$8 \sin (x) \cos (x) = \sin (4 x)$

Этап 1

Вычтем $\sin (4 x)$ из обеих частей уравнения.

$8 \sin (x) \cos (x) - \sin (4 x) = 0$

Этап 2

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 (2 x)) = 0$

Этап 2.1.2

Применим формулу двойного угла для синуса.

$8 \sin (x) \cos (x) - (2 (2 \sin (x) \cos (x)) \cos (2 x)) = 0$

Этап 2.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 (\sin (x) \cos (x)) \cos (2 x)) = 0$

Этап 2.1.4

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Этап 2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Этап 2.1.6

Умножим $4$ на $1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Этап 2.1.7

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Перенесем $\sin^{2} (x)$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2) = 0$

Этап 2.1.7.2

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2) = 0$

Этап 2.1.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2) = 0$

Этап 2.1.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2) = 0$

Этап 2.1.8

Умножим $- 2$ на $4$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

Этап 2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x)) - (- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

Этап 2.1.10

Умножим $4$ на $- 1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - 4 (\sin (x) \cos (x)) - (- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

Этап 2.1.11

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - 4 (\sin (x) \cos (x)) + 8 (\sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

Этап 2.1.12

Избавимся от скобок.

$8 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin (x) \cos (x) + 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Этап 2.2

Вычтем $4 \sin (x) \cos (x)$ из $8 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $4 \sin (x) \cos (x)$ из $4 \sin (x) \cos (x) + 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $4 \sin (x) \cos (x)$ из $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $4 \sin (x) \cos (x)$ из $8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $4 \sin (x) \cos (x)$ из $4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (2 \sin^{2} (x))$ .

$4 \sin (x) \cos (x) (1 + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

$1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 5

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 5.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 5.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 5.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 6.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 6.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 6.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 6.2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Приравняем $1 + 2 \sin^{2} (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $1 + 2 \sin^{2} (x)$ к $0$ .

$1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 7.2

Решим $1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin^{2} (x) = - 1$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $2 \sin^{2} (x) = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $2 \sin^{2} (x) = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $\sin^{2} (x)$ на $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 1}{2}$

Этап 7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin^{2} (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 7.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Этап 7.2.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Перепишем $- \frac{1}{2}$ в виде $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Этап 7.2.4.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Этап 7.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sin (x) = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Этап 7.2.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$\sin (x) = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 7.2.4.4

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 7.2.4.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 7.2.4.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 7.2.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 7.2.4.7.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 7.2.4.7.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 7.2.4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 7.2.4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 7.2.4.7.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.2.4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.2.4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.2.4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.2.4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 7.2.4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 7.2.4.8

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.2.6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.2.7

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.7.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{i \sqrt{2}}{2})$

Этап 7.2.7.2

Обратная функция синуса от $\arcsin (\frac{i \sqrt{2}}{2})$ не определена.

Неопределенные

Этап 7.2.8

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.8.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Этап 7.2.8.2

Обратная функция синуса от $\arcsin (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ не определена.

Неопределенные

Этап 7.2.9

Перечислим все решения.

Нет решения

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 \sin (x) \cos (x) (1 + 2 \sin^{2} (x)) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$