Тригонометрия Примеры

$\sec (x) (\sec (x) - \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\sec (x) (\sec (x) - \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\cos (x)} (\sec (x) - \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Этап 1.1.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Этап 1.1.4

Умножим $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Этап 1.1.4.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Этап 1.1.4.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Этап 1.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Этап 1.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Этап 1.1.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) = \tan^{2} (x)$

Этап 1.1.5.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{\cos (x)}$ в числитель.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} \cos (x) = \tan^{2} (x)$

Этап 1.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} \cos (x) = \tan^{2} (x)$

Этап 1.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1 = \tan^{2} (x)$

Этап 1.1.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1 = \tan^{2} (x)$

Этап 1.1.5.3.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1 = \tan^{2} (x)$

Этап 1.1.5.3.3

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\sec^{2} (x) - 1 = \tan^{2} (x)$

Этап 1.1.6

Применим формулу Пифагора.

$\tan^{2} (x) = \tan^{2} (x)$

Этап 2

Поскольку экспоненты равны, основания экспонент в обеих частях уравнения должны быть равны.

$| \tan (x) | = | \tan (x) |$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$\tan (x) = \tan (x)$

$\tan (x) = - \tan (x)$

$- \tan (x) = \tan (x)$

$- \tan (x) = - \tan (x)$

Этап 3.2

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$\tan (x) = \tan (x)$

$\tan (x) = - \tan (x)$

Этап 3.3

Решим $\tan (x) = \tan (x)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы две функции были равны, аргументы каждой из них должны быть одинаковыми.

$x = x$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x - x = 0$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$0 = 0$

Этап 3.3.3

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным.

Все вещественные числа

Этап 3.4

Решим $\tan (x) = - \tan (x)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем все члены с $\tan (x)$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Добавим $\tan (x)$ к обеим частям уравнения.

$\tan (x) + \tan (x) = 0$

Этап 3.4.1.2

Добавим $\tan (x)$ и $\tan (x)$ .

$2 \tan (x) = 0$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $2 \tan (x) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $2 \tan (x) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{0}{2}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$\tan (x) = 0$

Этап 3.4.3

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Этап 3.4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 3.4.5

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + 0$

Этап 3.4.6

Добавим $π$ и $0$ .

$x = π$

Этап 3.4.7

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 3.4.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 3.4.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 3.4.7.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.4.8

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$