Тригонометрия Примеры

$\frac{\tan^{2} (x) - 1}{2} - \sec (x) + \sqrt{2} = 0$

Этап 1

Упростим $\frac{\tan^{2} (x) - 1}{2} - \sec (x) + \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{\tan^{2} (x) - 1^{2}}{2} - \sec (x) + \sqrt{2} = 0$

Этап 1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \tan (x)$ и $b = 1$ .

$\frac{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}{2} - \sec (x) + \sqrt{2} = 0$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \sec (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}{2} - \sec (x) \cdot \frac{2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Этап 1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим $- \sec (x)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}{2} + \frac{- \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Этап 1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Этап 1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Развернем $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\tan (x) (\tan (x) - 1) + 1 (\tan (x) - 1) - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Этап 1.4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 (\tan (x) - 1) - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Этап 1.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Этап 1.4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Умножим $\tan (x) \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Этап 1.4.2.1.1.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Этап 1.4.2.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Этап 1.4.2.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Этап 1.4.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $\tan (x)$ .

$\frac{\tan^{2} (x) - 1 \cdot \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Этап 1.4.2.1.3

Перепишем $- 1 \tan (x)$ в виде $- \tan (x)$ .

$\frac{\tan^{2} (x) - \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Этап 1.4.2.1.4

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Этап 1.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Этап 1.4.2.2

Добавим $- \tan (x)$ и $\tan (x)$ .

$\frac{\tan^{2} (x) + 0 - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Этап 1.4.2.3

Добавим $\tan^{2} (x)$ и $0$ .

$\frac{\tan^{2} (x) - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) - 1 - 2 \sec (x)}{2} + \sqrt{2} = 0$

Этап 2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3