Тригонометрия Примеры

$f (x) = 3 x^{3} - 33 x^{2} + 60 x + 96$

Этап 1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{3} - 33 x^{2} + 60 x + 96$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{3}) - 33 x^{2} + 60 x + 96$

Этап 1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 33 x^{2}$ .

$f (x) = 3 (x^{3}) + 3 (- 11 x^{2}) + 60 x + 96$

Этап 1.3

Вынесем множитель $3$ из $60 x$ .

$f (x) = 3 (x^{3}) + 3 (- 11 x^{2}) + 3 (20 x) + 96$

Этап 1.4

Вынесем множитель $3$ из $96$ .

$f (x) = 3 x^{3} + 3 (- 11 x^{2}) + 3 (20 x) + 3 \cdot 32$

Этап 1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{3} + 3 (- 11 x^{2})$ .

$f (x) = 3 (x^{3} - 11 x^{2}) + 3 (20 x) + 3 \cdot 32$

Этап 1.6

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{3} - 11 x^{2}) + 3 (20 x)$ .

$f (x) = 3 (x^{3} - 11 x^{2} + 20 x) + 3 \cdot 32$

Этап 1.7

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{3} - 11 x^{2} + 20 x) + 3 \cdot 32$ .

$f (x) = 3 (x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32)$

Этап 2

Разложим $x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Этап 2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Этап 2.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{3} - 11 {(- 1)}^{2} + 20 \cdot - 1 + 32$

Этап 2.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 - 11 {(- 1)}^{2} + 20 \cdot - 1 + 32$

Этап 2.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 - 11 \cdot 1 + 20 \cdot - 1 + 32$

Этап 2.3.4

Умножим $- 11$ на $1$ .

$- 1 - 11 + 20 \cdot - 1 + 32$

Этап 2.3.5

Вычтем $11$ из $- 1$ .

$- 12 + 20 \cdot - 1 + 32$

Этап 2.3.6

Умножим $20$ на $- 1$ .

$- 12 - 20 + 32$

Этап 2.3.7

Вычтем $20$ из $- 12$ .

$- 32 + 32$

Этап 2.3.8

Добавим $- 32$ и $32$ .

$0$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32}{x + 1}$

Этап 2.5

Разделим $x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$20 x$

$32$

Этап 2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$

Этап 2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Этап 2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$

Этап 2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 12 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$

Этап 2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$12 x$

Этап 2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 12 x^{2} - 12 x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$

Этап 2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$

Этап 2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$

Этап 2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $32 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$

Этап 2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$
							+	$32 x$	+	$32$

Этап 2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $32 x + 32$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$
							-	$32 x$	-	$32$

Этап 2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$
							-	$32 x$	-	$32$
										$0$

Этап 2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 12 x + 32$

Этап 2.6

Запишем $x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32$ в виде набора множителей.

$f (x) = 3 ((x + 1) (x^{2} - 12 x + 32))$

Этап 3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим $x^{2} - 12 x + 32$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разложим $x^{2} - 12 x + 32$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $32$ , а сумма — $- 12$ .

$- 8, - 4$

Этап 3.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f (x) = 3 ((x + 1) ((x - 8) (x - 4)))$

Этап 3.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = 3 ((x + 1) (x - 8) (x - 4))$

Этап 3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = 3 (x + 1) (x - 8) (x - 4)$