Тригонометрия Примеры

$f (x) = 2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$

Этап 1

Разложим $2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 60, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 1.5, \pm 20, \pm 10, \pm 4, \pm 7.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 12, \pm 6$

Этап 1.3

Подставим $- 1.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $- 1.5$ в многочлен.

$2 {(- 1.5)}^{4} - 19 {(- 1.5)}^{3} + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Этап 1.3.2

Возведем $- 1.5$ в степень $4$ .

$2 \cdot 5.0625 - 19 {(- 1.5)}^{3} + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $5.0625$ .

$10.125 - 19 {(- 1.5)}^{3} + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Этап 1.3.4

Возведем $- 1.5$ в степень $3$ .

$10.125 - 19 \cdot - 3.375 + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Этап 1.3.5

Умножим $- 19$ на $- 3.375$ .

$10.125 + 64.125 + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Этап 1.3.6

Добавим $10.125$ и $64.125$ .

$74.25 + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Этап 1.3.7

Возведем $- 1.5$ в степень $2$ .

$74.25 + 33 \cdot 2.25 + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Этап 1.3.8

Умножим $33$ на $2.25$ .

$74.25 + 74.25 + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Этап 1.3.9

Добавим $74.25$ и $74.25$ .

$148.5 + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Этап 1.3.10

Умножим $59$ на $- 1.5$ .

$148.5 - 88.5 - 60$

Этап 1.3.11

Вычтем $88.5$ из $148.5$ .

$60 - 60$

Этап 1.3.12

Вычтем $60$ из $60$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $- 1.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x + 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60}{2 x + 3}$

Этап 1.5

Разделим $2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$ на $2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{4} + 3 x^{3}$ .

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 22 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 22 x^{3} - 33 x^{2}$ .

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $66 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $66 x^{2} + 99 x$ .

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

Этап 1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

Этап 1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 40 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

Этап 1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

$40 x$

$60$

Этап 1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 40 x - 60$ .

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

$40 x$

$60$

Этап 1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

$40 x$

$60$

$0$

Этап 1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$

Этап 1.6

Запишем $2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$ в виде набора множителей.

$f (x) = (2 x + 3) (x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20)$

Этап 2

Разложим $x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Этап 2.1.3

Подставим $4$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $4$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим $4$ в многочлен.

$4^{3} - 11 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 20$

Этап 2.1.3.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$64 - 11 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 20$

Этап 2.1.3.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$64 - 11 \cdot 16 + 33 \cdot 4 - 20$

Этап 2.1.3.4

Умножим $- 11$ на $16$ .

$64 - 176 + 33 \cdot 4 - 20$

Этап 2.1.3.5

Вычтем $176$ из $64$ .

$- 112 + 33 \cdot 4 - 20$

Этап 2.1.3.6

Умножим $33$ на $4$ .

$- 112 + 132 - 20$

Этап 2.1.3.7

Добавим $- 112$ и $132$ .

$20 - 20$

Этап 2.1.3.8

Вычтем $20$ из $20$ .

$0$

Этап 2.1.4

Поскольку $4$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 4$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20}{x - 4}$

Этап 2.1.5

Разделим $x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ на $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

$x$

$4$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

Этап 2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$

Этап 2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

Этап 2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$

Этап 2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 7 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$

Этап 2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$28 x$

Этап 2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 7 x^{2} + 28 x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$

Этап 2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$

Этап 2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$

Этап 2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$

Этап 2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							+	$5 x$	-	$20$

Этап 2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x - 20$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$

Этап 2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$
										$0$

Этап 2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 7 x + 5$

Этап 2.1.6

Запишем $x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ в виде набора множителей.

$f (x) = (2 x + 3) ((x - 4) (x^{2} - 7 x + 5))$

Этап 2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = (2 x + 3) (x - 4) (x^{2} - 7 x + 5)$