Тригонометрия Примеры

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{25} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{25} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 4$

$b = 5$

$k = - 3$

$h = - 4$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(- 4, - 3)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(5)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + {(5)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 25}$

Этап 5.3.3

Добавим $16$ и $25$ .

$\sqrt{41}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, - 3)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 8, - 3)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(0, - 3), (- 8, - 3)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 4 + \sqrt{41}, - 3)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 4 - \sqrt{41}, - 3)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(- 4 + \sqrt{41}, - 3), (- 4 - \sqrt{41}, - 3)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(5)}^{2}}}{4}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 5^{2}}}{4}$

Этап 8.3.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 25}}{4}$

Этап 8.3.3

Добавим $16$ и $25$ .

$\frac{\sqrt{41}}{4}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{5^{2}}{\sqrt{41}}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{25}{\sqrt{41}}$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{25}{\sqrt{41}}$ на $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\frac{25}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$

Этап 9.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим $\frac{25}{\sqrt{41}}$ на $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}}$

Этап 9.3.3.2

Возведем $\sqrt{41}$ в степень $1$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} \sqrt{41}}$

Этап 9.3.3.3

Возведем $\sqrt{41}$ в степень $1$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} {\sqrt{41}}^{1}}$

Этап 9.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{2}}$

Этап 9.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{41}}^{2}$ в виде $41$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{41}$ в виде $41^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{{(41^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{1}}$

Этап 9.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{25 \sqrt{41}}{41}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \frac{5}{4} \cdot (x - (- 4)) - 3$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{5}{4} \cdot (x - (- 4)) - 3$

Этап 11.2

Упростим $\frac{5}{4} \cdot (x - (- 4)) - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{5}{4} \cdot (x + 4) - 3$

Этап 11.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{5}{4} x + \frac{5}{4} \cdot 4 - 3$

Этап 11.2.1.3

Объединим $\frac{5}{4}$ и $x$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{4} \cdot 4 - 3$

Этап 11.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{4} \cdot 4 - 3$

Этап 11.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{5 x}{4} + 5 - 3$

Этап 11.2.2

Вычтем $3$ из $5$ .

$y = \frac{5 x}{4} + 2$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{5}{4} \cdot (x - (- 4)) - 3$

Этап 12.2

Упростим $- \frac{5}{4} \cdot (x - (- 4)) - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = - \frac{5}{4} \cdot (x + 4) - 3$

Этап 12.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{5}{4} x - \frac{5}{4} \cdot 4 - 3$

Этап 12.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{5}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} - \frac{5}{4} \cdot 4 - 3$

Этап 12.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{4}$ в числитель.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{4} \cdot 4 - 3$

Этап 12.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{4} \cdot 4 - 3$

Этап 12.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} - 5 - 3$

Этап 12.2.1.5

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$y = - \frac{5 x}{4} - 5 - 3$

Этап 12.2.2

Вычтем $3$ из $- 5$ .

$y = - \frac{5 x}{4} - 8$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{5 x}{4} + 2, y = - \frac{5 x}{4} - 8$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(- 4, - 3)$

Вершины: $(0, - 3), (- 8, - 3)$

Фокусы: $(- 4 + \sqrt{41}, - 3), (- 4 - \sqrt{41}, - 3)$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{41}}{4}$

Фокальный параметр: $\frac{25 \sqrt{41}}{41}$

Асимптоты: $y = \frac{5 x}{4} + 2$ , $y = - \frac{5 x}{4} - 8$

Этап 15