Тригонометрия Примеры

$y = - 11 x^{2} + 154 x - 535$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для $- 11 x^{2} + 154 x - 535$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 11$

$b = 154$

$c = - 535$

Этап 1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{154}{2 \cdot - 11}$

Этап 1.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $154$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $154$ .

$d = \frac{2 \cdot 77}{2 \cdot - 11}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 11$ .

$d = \frac{2 \cdot 77}{2 (- 11)}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 77}{2 \cdot - 11}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{77}{- 11}$

Этап 1.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $77$ и $- 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $11$ из $77$ .

$d = \frac{11 (7)}{- 11}$

Этап 1.1.1.3.2.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{7}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 7$

Этап 1.1.1.3.2.3

Умножим $- 1$ на $7$ .

$d = - 7$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 535 - \frac{154^{2}}{4 \cdot - 11}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Возведем $154$ в степень $2$ .

$e = - 535 - \frac{23716}{4 \cdot - 11}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 11$ .

$e = - 535 - \frac{23716}{- 44}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3

Разделим $23716$ на $- 44$ .

$e = - 535 - - 539$

Этап 1.1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 539$ .

$e = - 535 + 539$

Этап 1.1.1.4.2.2

Добавим $- 535$ и $539$ .

$e = 4$

Этап 1.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 11 {(x - 7)}^{2} + 4$ .

$- 11 {(x - 7)}^{2} + 4$

Этап 1.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - 11 {(x - 7)}^{2} + 4$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 11$

$h = 7$

$k = 4$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(7, 4)$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 11}$

Этап 1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Умножим $4$ на $- 11$ .

$\frac{1}{- 44}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{44}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(7, \frac{175}{44})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 7$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{177}{44}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(7, 4)$

Фокус: $(7, \frac{175}{44})$

Ось симметрии: $x = 7$

Директриса: $y = \frac{177}{44}$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(7, 4)$

Фокус: $(7, \frac{175}{44})$

Ось симметрии: $x = 7$

Директриса: $y = \frac{177}{44}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = - 11 {(6)}^{2} + 154 (6) - 535$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f (6) = - 11 \cdot 36 + 154 (6) - 535$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 11$ на $36$ .

$f (6) = - 396 + 154 (6) - 535$

Этап 2.2.1.3

Умножим $154$ на $6$ .

$f (6) = - 396 + 924 - 535$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $- 396$ и $924$ .

$f (6) = 528 - 535$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $535$ из $528$ .

$f (6) = - 7$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $- 7$ .

$- 7$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 6$ равно $- 7$ .

$y = - 7$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f (8) = - 11 {(8)}^{2} + 154 (8) - 535$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$f (8) = - 11 \cdot 64 + 154 (8) - 535$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 11$ на $64$ .

$f (8) = - 704 + 154 (8) - 535$

Этап 2.5.1.3

Умножим $154$ на $8$ .

$f (8) = - 704 + 1232 - 535$

Этап 2.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $- 704$ и $1232$ .

$f (8) = 528 - 535$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $535$ из $528$ .

$f (8) = - 7$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $- 7$ .

$- 7$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = 8$ равно $- 7$ .

$y = - 7$

Этап 2.7

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 6 & - 7 \\ 7 & 4 \\ 8 & - 7 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(7, 4)$

Фокус: $(7, \frac{175}{44})$

Ось симметрии: $x = 7$

Директриса: $y = \frac{177}{44}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 6 & - 7 \\ 7 & 4 \\ 8 & - 7 \end{array}$

Этап 4