Тригонометрия Примеры

$y = 1 - \cos (2 x)$

Этап 1

Перепишем выражение в виде $- \cos (2 x) + 1$ .

$- \cos (2 x) + 1$

Этап 2

Применим форму $a \cos (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

$d = 1$

Этап 3

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $1$

Этап 4

Найдем период, используя формулу $\frac{2 π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем период $- \cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.1.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 4.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 4.1.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.2

Найдем период $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 4.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 4.2.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$π$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{2}$

Этап 5.3

Разделим $0$ на $2$ .

Сдвиг фазы: $0$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $1$

Период: $π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: $1$

Этап 7

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем точку в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 1 - \cos (2 (0))$

Этап 7.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = 1 - \cos (0)$

Этап 7.1.2.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = 1 - 1 \cdot 1$

Этап 7.1.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (0) = 1 - 1$

Этап 7.1.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (0) = 0$

Этап 7.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 7.2

Найдем точку в $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 - \cos (2 (\frac{π}{4}))$

Этап 7.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 - \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Этап 7.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{4}) = 1 - \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Этап 7.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{4}) = 1 - \cos (\frac{π}{2})$

Этап 7.2.2.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 - 0$

Этап 7.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 0$

Этап 7.2.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1$

Этап 7.2.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 7.3

Найдем точку в $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 7.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{2}) = 1 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 7.3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{2}) = 1 - \cos (π)$

Этап 7.3.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (\frac{π}{2}) = 1 + \cos (0)$

Этап 7.3.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 - (- 1 \cdot 1)$

Этап 7.3.2.1.4

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 1$

Этап 7.3.2.1.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 1$

Этап 7.3.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2$

Этап 7.3.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 7.4

Найдем точку в $x = \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - \cos (2 (\frac{3 π}{4}))$

Этап 7.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - \cos (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

Этап 7.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - \cos (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

Этап 7.4.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 7.4.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - \cos (\frac{π}{2})$

Этап 7.4.2.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 0$

Этап 7.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 0$

Этап 7.4.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1$

Этап 7.4.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 7.5

Найдем точку в $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$f (π) = 1 - \cos (2 (π))$

Этап 7.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (π) = 1 - \cos (0)$

Этап 7.5.2.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (π) = 1 - 1 \cdot 1$

Этап 7.5.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (π) = 1 - 1$

Этап 7.5.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (π) = 0$

Этап 7.5.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 7.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{4} & 1 \\ \frac{π}{2} & 2 \\ \frac{3 π}{4} & 1 \\ π & 0 \end{array}$

Этап 8

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $1$

Период: $π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: $1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{4} & 1 \\ \frac{π}{2} & 2 \\ \frac{3 π}{4} & 1 \\ π & 0 \end{array}$

Этап 9