Тригонометрия Примеры

$y = 176 x - 16 x^{2}$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Изменим порядок $176 x$ и $- 16 x^{2}$ .

$y = - 16 x^{2} + 176 x$

Этап 1.1.2

Составим полный квадрат для $- 16 x^{2} + 176 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 16$

$b = 176$

$c = 0$

Этап 1.1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{176}{2 \cdot - 16}$

Этап 1.1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $176$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $176$ .

$d = \frac{2 \cdot 88}{2 \cdot - 16}$

Этап 1.1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 88}{2 (- 16)}$

Этап 1.1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 88}{2 \cdot - 16}$

Этап 1.1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{88}{- 16}$

Этап 1.1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $88$ и $- 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $8$ из $88$ .

$d = \frac{8 (11)}{- 16}$

Этап 1.1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $8$ из $- 16$ .

$d = \frac{8 \cdot 11}{8 \cdot - 2}$

Этап 1.1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{8 \cdot 11}{8 \cdot - 2}$

Этап 1.1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{11}{- 2}$

Этап 1.1.2.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{11}{2}$

Этап 1.1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{176^{2}}{4 \cdot - 16}$

Этап 1.1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1.1

Возведем $176$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{30976}{4 \cdot - 16}$

Этап 1.1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 16$ .

$e = 0 - \frac{30976}{- 64}$

Этап 1.1.2.4.2.1.3

Разделим $30976$ на $- 64$ .

$e = 0 - - 484$

Этап 1.1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 484$ .

$e = 0 + 484$

Этап 1.1.2.4.2.2

Добавим $0$ и $484$ .

$e = 484$

Этап 1.1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 16 {(x - \frac{11}{2})}^{2} + 484$ .

$- 16 {(x - \frac{11}{2})}^{2} + 484$

Этап 1.1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - 16 {(x - \frac{11}{2})}^{2} + 484$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 16$

$h = \frac{11}{2}$

$k = 484$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(\frac{11}{2}, 484)$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 16}$

Этап 1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Умножим $4$ на $- 16$ .

$\frac{1}{- 64}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{64}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{11}{2}, \frac{30975}{64})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = \frac{11}{2}$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{30977}{64}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(\frac{11}{2}, 484)$

Фокус: $(\frac{11}{2}, \frac{30975}{64})$

Ось симметрии: $x = \frac{11}{2}$

Директриса: $y = \frac{30977}{64}$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(\frac{11}{2}, 484)$

Фокус: $(\frac{11}{2}, \frac{30975}{64})$

Ось симметрии: $x = \frac{11}{2}$

Директриса: $y = \frac{30977}{64}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = - 16 {(5)}^{2} + 176 (5)$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (5) = - 16 \cdot 25 + 176 (5)$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 16$ на $25$ .

$f (5) = - 400 + 176 (5)$

Этап 2.2.1.3

Умножим $176$ на $5$ .

$f (5) = - 400 + 880$

Этап 2.2.2

Добавим $- 400$ и $880$ .

$f (5) = 480$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $480$ .

$480$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 5$ равно $480$ .

$y = 480$

Этап 2.4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 5 & 480 \\ \frac{11}{2} & 484 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(\frac{11}{2}, 484)$

Фокус: $(\frac{11}{2}, \frac{30975}{64})$

Ось симметрии: $x = \frac{11}{2}$

Директриса: $y = \frac{30977}{64}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 5 & 480 \\ \frac{11}{2} & 484 \end{array}$

Этап 4