Тригонометрия Примеры

$y = \frac{2}{5} \cdot {(x - 4)}^{2} - 3$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{2}{5}$

$h = 4$

$k = - 3$

Этап 1.2

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(4, - 3)$

Этап 1.4

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.4.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{2}{5}}$

Этап 1.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Объединим $4$ и $\frac{2}{5}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 2}{5}}$

Этап 1.4.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{\frac{8}{5}}$

Этап 1.4.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 (\frac{5}{8})$

Этап 1.4.3.4

Умножим $\frac{5}{8}$ на $1$ .

$\frac{5}{8}$

Этап 1.5

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.5.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4, - \frac{19}{8})$

Этап 1.6

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 4$

Этап 1.7

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.7.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{29}{8}$

Этап 1.8

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(4, - 3)$

Фокус: $(4, - \frac{19}{8})$

Ось симметрии: $x = 4$

Директриса: $y = - \frac{29}{8}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(4, - 3)$

Фокус: $(4, - \frac{19}{8})$

Ось симметрии: $x = 4$

Директриса: $y = - \frac{29}{8}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \frac{2 {(3)}^{2}}{5} - \frac{16 (3)}{5} + \frac{17}{5}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (3) = \frac{2 {(3)}^{2} - 16 \cdot 3 + 17}{5}$

Этап 2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = \frac{2 \cdot 9 - 16 \cdot 3 + 17}{5}$

Этап 2.2.2.2

Умножим $2$ на $9$ .

$f (3) = \frac{18 - 16 \cdot 3 + 17}{5}$

Этап 2.2.2.3

Умножим $- 16$ на $3$ .

$f (3) = \frac{18 - 48 + 17}{5}$

Этап 2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вычтем $48$ из $18$ .

$f (3) = \frac{- 30 + 17}{5}$

Этап 2.2.3.2

Добавим $- 30$ и $17$ .

$f (3) = \frac{- 13}{5}$

Этап 2.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (3) = - \frac{13}{5}$

Этап 2.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{13}{5}$ .

$- \frac{13}{5}$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 3$ равно $- \frac{13}{5}$ .

$y = - \frac{13}{5}$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{2}}{5} - \frac{16 (2)}{5} + \frac{17}{5}$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{2} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Этап 2.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Умножим $2$ на ${(2)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Умножим $2$ на ${(2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{2} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Этап 2.5.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (2) = \frac{2^{1 + 2} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Этап 2.5.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (2) = \frac{2^{3} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Этап 2.5.2.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2) = \frac{8 - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Этап 2.5.2.3

Умножим $- 16$ на $2$ .

$f (2) = \frac{8 - 32 + 17}{5}$

Этап 2.5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Вычтем $32$ из $8$ .

$f (2) = \frac{- 24 + 17}{5}$

Этап 2.5.3.2

Добавим $- 24$ и $17$ .

$f (2) = \frac{- 7}{5}$

Этап 2.5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (2) = - \frac{7}{5}$

Этап 2.5.4

Окончательный ответ: $- \frac{7}{5}$ .

$- \frac{7}{5}$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = 2$ равно $- \frac{7}{5}$ .

$y = - \frac{7}{5}$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = \frac{2 {(5)}^{2}}{5} - \frac{16 (5)}{5} + \frac{17}{5}$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (5) = \frac{2 {(5)}^{2} - 16 \cdot 5 + 17}{5}$

Этап 2.8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (5) = \frac{2 \cdot 25 - 16 \cdot 5 + 17}{5}$

Этап 2.8.2.2

Умножим $2$ на $25$ .

$f (5) = \frac{50 - 16 \cdot 5 + 17}{5}$

Этап 2.8.2.3

Умножим $- 16$ на $5$ .

$f (5) = \frac{50 - 80 + 17}{5}$

Этап 2.8.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Вычтем $80$ из $50$ .

$f (5) = \frac{- 30 + 17}{5}$

Этап 2.8.3.2

Добавим $- 30$ и $17$ .

$f (5) = \frac{- 13}{5}$

Этап 2.8.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (5) = - \frac{13}{5}$

Этап 2.8.4

Окончательный ответ: $- \frac{13}{5}$ .

$- \frac{13}{5}$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 5$ равно $- \frac{13}{5}$ .

$y = - \frac{13}{5}$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = \frac{2 {(6)}^{2}}{5} - \frac{16 (6)}{5} + \frac{17}{5}$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (6) = \frac{2 {(6)}^{2} - 16 \cdot 6 + 17}{5}$

Этап 2.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f (6) = \frac{2 \cdot 36 - 16 \cdot 6 + 17}{5}$

Этап 2.11.2.2

Умножим $2$ на $36$ .

$f (6) = \frac{72 - 16 \cdot 6 + 17}{5}$

Этап 2.11.2.3

Умножим $- 16$ на $6$ .

$f (6) = \frac{72 - 96 + 17}{5}$

Этап 2.11.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1

Вычтем $96$ из $72$ .

$f (6) = \frac{- 24 + 17}{5}$

Этап 2.11.3.2

Добавим $- 24$ и $17$ .

$f (6) = \frac{- 7}{5}$

Этап 2.11.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (6) = - \frac{7}{5}$

Этап 2.11.4

Окончательный ответ: $- \frac{7}{5}$ .

$- \frac{7}{5}$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 6$ равно $- \frac{7}{5}$ .

$y = - \frac{7}{5}$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - \frac{7}{5} \\ 3 & - \frac{13}{5} \\ 4 & - 3 \\ 5 & - \frac{13}{5} \\ 6 & - \frac{7}{5} \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(4, - 3)$

Фокус: $(4, - \frac{19}{8})$

Ось симметрии: $x = 4$

Директриса: $y = - \frac{29}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - \frac{7}{5} \\ 3 & - \frac{13}{5} \\ 4 & - 3 \\ 5 & - \frac{13}{5} \\ 6 & - \frac{7}{5} \end{array}$

Этап 4