Тригонометрия Примеры

$y = - 3 + 2 \sin (3 x)$

Этап 1

Перепишем выражение в виде $2 \sin (3 x) - 3$ .

$2 \sin (3 x) - 3$

Этап 2

Применим форму $a \sin (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 2$

$b = 3$

$c = 0$

$d = - 3$

Этап 3

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $2$

Этап 4

Найдем период, используя формулу $\frac{2 π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем период $2 \sin (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.1.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 4.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 4.2

Найдем период $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 4.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 4.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$\frac{2 π}{3}$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{3}$

Этап 5.3

Разделим $0$ на $3$ .

Сдвиг фазы: $0$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $2$

Период: $\frac{2 π}{3}$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: $- 3$

Этап 7

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем точку в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - 3 + 2 \sin (3 (0))$

Этап 7.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$f (0) = - 3 + 2 \sin (0)$

Этап 7.1.2.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (0) = - 3 + 2 \cdot 0$

Этап 7.1.2.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = - 3 + 0$

Этап 7.1.2.2

Добавим $- 3$ и $0$ .

$f (0) = - 3$

Этап 7.1.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 7.2

Найдем точку в $x = \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 3 + 2 \sin (3 (\frac{π}{6}))$

Этап 7.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 3 + 2 \sin (3 (\frac{π}{3 (2)}))$

Этап 7.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{6}) = - 3 + 2 \sin (3 (\frac{π}{3 \cdot 2}))$

Этап 7.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{6}) = - 3 + 2 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 7.2.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 3 + 2 \cdot 1$

Этап 7.2.2.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 3 + 2$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 3$ и $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 1$

Этап 7.2.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 7.3

Найдем точку в $x = \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 3 + 2 \sin (3 (\frac{π}{3}))$

Этап 7.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{3}) = - 3 + 2 \sin (3 (\frac{π}{3}))$

Этап 7.3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{3}) = - 3 + 2 \sin (π)$

Этап 7.3.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{π}{3}) = - 3 + 2 \sin (0)$

Этап 7.3.2.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 3 + 2 \cdot 0$

Этап 7.3.2.1.4

Умножим $2$ на $0$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 3 + 0$

Этап 7.3.2.2

Добавим $- 3$ и $0$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 3$

Этап 7.3.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 7.4

Найдем точку в $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 3 + 2 \sin (3 (\frac{π}{2}))$

Этап 7.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Объединим $3$ и $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 3 + 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 7.4.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$f (\frac{π}{2}) = - 3 + 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 7.4.2.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 3 + 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 7.4.2.1.4

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 3 + 2 \cdot - 1$

Этап 7.4.2.1.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 3 - 2$

Этап 7.4.2.2

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 5$

Этап 7.4.2.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$- 5$

Этап 7.5

Найдем точку в $x = \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 3 + 2 \sin (3 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 7.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 3 + 2 \sin (3 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 7.5.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 3 + 2 \sin (2 π)$

Этап 7.5.2.1.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 3 + 2 \sin (0)$

Этап 7.5.2.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 3 + 2 \cdot 0$

Этап 7.5.2.1.4

Умножим $2$ на $0$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 3 + 0$

Этап 7.5.2.2

Добавим $- 3$ и $0$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 3$

Этап 7.5.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 7.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 3 \\ \frac{π}{6} & - 1 \\ \frac{π}{3} & - 3 \\ \frac{π}{2} & - 5 \\ \frac{2 π}{3} & - 3 \end{array}$

Этап 8

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $2$

Период: $\frac{2 π}{3}$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: $- 3$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 3 \\ \frac{π}{6} & - 1 \\ \frac{π}{3} & - 3 \\ \frac{π}{2} & - 5 \\ \frac{2 π}{3} & - 3 \end{array}$

Этап 9