Тригонометрия Примеры

$y = 2 | - 3 x + 4 | - 3$

Этап 1

Найдем вершину функции абсолютного значения. В этом случае вершина $y = 2 | - 3 x + 4 | - 3$ лежит в точке $(\frac{4}{3}, - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти координату $x$ вершины, зададим абсолютное значение $- 3 x + 4$ равным $0$ . В данном случае $- 3 x + 4 = 0$ .

$- 3 x + 4 = 0$

Этап 1.2

Решим уравнение $- 3 x + 4 = 0$ , чтобы найти координату $x$ вершины графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x = - 4$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- 3 x = - 4$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- 3 x = - 4$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 4}{- 3}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 4}{- 3}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 3}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{4}{3}$

Этап 1.3

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{4}{3}$ .

$y = 2 | - 3 (\frac{4}{3}) + 4 | - 3$

Этап 1.4

Упростим $2 | - 3 (\frac{4}{3}) + 4 | - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$y = 2 | 3 (- 1) (\frac{4}{3}) + 4 | - 3$

Этап 1.4.1.1.1.2

Сократим общий множитель.

$y = 2 | 3 \cdot (- 1 (\frac{4}{3})) + 4 | - 3$

Этап 1.4.1.1.1.3

Перепишем это выражение.

$y = 2 | - 1 \cdot 4 + 4 | - 3$

Этап 1.4.1.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = 2 | - 4 + 4 | - 3$

Этап 1.4.1.2

Добавим $- 4$ и $4$ .

$y = 2 | 0 | - 3$

Этап 1.4.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$y = 2 \cdot 0 - 3$

Этап 1.4.1.4

Умножим $2$ на $0$ .

$y = 0 - 3$

Этап 1.4.2

Вычтем $3$ из $0$ .

$y = - 3$

Этап 1.5

Вершина графика абсолютного значения находится в точке $(\frac{4}{3}, - 3)$ .

$(\frac{4}{3}, - 3)$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Для каждого значения $x$ имеется одно значение $y$ . Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения, находящиеся вблизи значения $x$ , являющегося вершиной графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = 2 | - 3 x + 4 | - 3$ . В данном случае получится точка $(- 1, 11)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 2 | - 3 \cdot - 1 + 4 | - 3$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 2 | 3 + 4 | - 3$

Этап 3.1.2.1.2

Добавим $3$ и $4$ .

$f (- 1) = 2 | 7 | - 3$

Этап 3.1.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $7$ равно $7$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 7 - 3$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $2$ на $7$ .

$f (- 1) = 14 - 3$

Этап 3.1.2.2

Вычтем $3$ из $14$ .

$f (- 1) = 11$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $11$ .

$y = 11$

Этап 3.2

Подставим значение $x$ $0$ в $f (x) = 2 | - 3 x + 4 | - 3$ . В данном случае получится точка $(0, 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 2 | - 3 \cdot 0 + 4 | - 3$

Этап 3.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $- 3$ на $0$ .

$f (0) = 2 | 0 + 4 | - 3$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $0$ и $4$ .

$f (0) = 2 | 4 | - 3$

Этап 3.2.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$f (0) = 2 \cdot 4 - 3$

Этап 3.2.2.1.4

Умножим $2$ на $4$ .

$f (0) = 8 - 3$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $3$ из $8$ .

$f (0) = 5$

Этап 3.2.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$y = 5$

Этап 3.3

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = 2 | - 3 x + 4 | - 3$ . В данном случае получится точка $(1, - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 2 | - 3 \cdot 1 + 4 | - 3$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f (1) = 2 | - 3 + 4 | - 3$

Этап 3.3.2.1.2

Добавим $- 3$ и $4$ .

$f (1) = 2 | 1 | - 3$

Этап 3.3.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$f (1) = 2 \cdot 1 - 3$

Этап 3.3.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f (1) = 2 - 3$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f (1) = - 1$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 3.4

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = 2 | - 3 x + 4 | - 3$ . В данном случае получится точка $(2, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 2 | - 3 \cdot 2 + 4 | - 3$

Этап 3.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f (2) = 2 | - 6 + 4 | - 3$

Этап 3.4.2.1.2

Добавим $- 6$ и $4$ .

$f (2) = 2 | - 2 | - 3$

Этап 3.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 2$ и $0$ равно $2$ .

$f (2) = 2 \cdot 2 - 3$

Этап 3.4.2.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$f (2) = 4 - 3$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$f (2) = 1$

Этап 3.4.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 3.5

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(\frac{4}{3}, - 3), (- 1, 11), (0, 5), (1, - 1), (2, 1)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 11 \\ 0 & 5 \\ 1 & - 1 \\ \frac{4}{3} & - 3 \\ 2 & 1 \end{array}$

Этап 4