Тригонометрия Примеры

$y = \frac{1}{3} \cdot \cos (π x)$

Этап 1

Применим форму $a \cos (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = \frac{1}{3}$

$b = π$

$c = 0$

$d = 0$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $\frac{1}{3}$

Этап 3

Найдем период $\frac{\cos (π x)}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2

Заменим $b$ на $π$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| π |}$

Этап 3.3

$π$ приблизительно равно $3.14159265$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 3.4.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{π}$

Этап 4.3

Разделим $0$ на $π$ .

Сдвиг фазы: $0$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $\frac{1}{3}$

Период: $2$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{\cos (π (0))}{3}$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Умножим $π$ на $0$ .

$f (0) = \frac{\cos (0)}{3}$

Этап 6.1.2.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = \frac{1}{3}$

Этап 6.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\cos (π (\frac{1}{2}))}{3}$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Объединим $π$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\cos (\frac{π}{2})}{3}$

Этап 6.2.2.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{0}{3}$

Этап 6.2.2.2

Разделим $0$ на $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = 0$

Этап 6.2.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{\cos (π (1))}{3}$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Умножим $π$ на $1$ .

$f (1) = \frac{\cos (π)}{3}$

Этап 6.3.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (1) = \frac{- \cos (0)}{3}$

Этап 6.3.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (1) = \frac{- 1 \cdot 1}{3}$

Этап 6.3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = \frac{- 1}{3}$

Этап 6.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (1) = - \frac{1}{3}$

Этап 6.3.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{\cos (π (\frac{3}{2}))}{3}$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{\cos (\frac{π \cdot 3}{2})}{3}$

Этап 6.4.2.1.2

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{\cos (\frac{3 \cdot π}{2})}{3}$

Этап 6.4.2.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{\cos (\frac{π}{2})}{3}$

Этап 6.4.2.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{0}{3}$

Этап 6.4.2.2

Разделим $0$ на $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = 0$

Этап 6.4.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{\cos (π (2))}{3}$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$f (2) = \frac{\cos (2 \cdot π)}{3}$

Этап 6.5.2.1.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (2) = \frac{\cos (0)}{3}$

Этап 6.5.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (2) = \frac{1}{3}$

Этап 6.5.2.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & - \frac{1}{3} \\ \frac{3}{2} & 0 \\ 2 & \frac{1}{3} \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $\frac{1}{3}$

Период: $2$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & - \frac{1}{3} \\ \frac{3}{2} & 0 \\ 2 & \frac{1}{3} \end{array}$

Этап 8