Тригонометрия Примеры

$y = - \frac{1}{2} \cdot \sin (4 (x + \frac{π}{4})) + 1$

Этап 1

Применим форму $a \sin (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 4$

$c = - π$

$d = 1$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $\frac{1}{2}$

Этап 3

Найдем период, используя формулу $\frac{2 π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем период $- \frac{\sin (4 x + π)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.1.2

Заменим $b$ на $4$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Этап 3.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 3.1.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 3.2

Найдем период $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.2

Заменим $b$ на $4$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Этап 3.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 3.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 3.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 3.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 3.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$\frac{π}{2}$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{- π}{4}$

Этап 4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{4}$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $\frac{1}{2}$

Период: $\frac{π}{2}$

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ влево)

Смещение по вертикали: $1$

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{π}{4}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sin (4 (- \frac{π}{4}) + π)}{2} + 1$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{4}$ в числитель.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sin (4 (\frac{- π}{4}) + π)}{2} + 1$

Этап 6.1.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sin (4 (\frac{- π}{4}) + π)}{2} + 1$

Этап 6.1.2.1.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sin (- π + π)}{2} + 1$

Этап 6.1.2.1.1.2

Добавим $- π$ и $π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sin (0)}{2} + 1$

Этап 6.1.2.1.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{0}{2} + 1$

Этап 6.1.2.1.2

Разделим $0$ на $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 0 + 1$

Этап 6.1.2.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 0 + 1$

Этап 6.1.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1$

Этап 6.1.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = - \frac{π}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{π}{8}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sin (4 (- \frac{π}{8}) + π)}{2} + 1$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{8}$ в числитель.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sin (4 (\frac{- π}{8}) + π)}{2} + 1$

Этап 6.2.2.1.1.1.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sin (4 (\frac{- π}{4 (2)}) + π)}{2} + 1$

Этап 6.2.2.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sin (4 (\frac{- π}{4 \cdot 2}) + π)}{2} + 1$

Этап 6.2.2.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sin (\frac{- π}{2} + π)}{2} + 1$

Этап 6.2.2.1.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sin (- \frac{π}{2} + π)}{2} + 1$

Этап 6.2.2.1.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sin (- \frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})}{2} + 1$

Этап 6.2.2.1.3

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sin (- \frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})}{2} + 1$

Этап 6.2.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sin (\frac{- π + π \cdot 2}{2})}{2} + 1$

Этап 6.2.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sin (\frac{- π + 2 \cdot π}{2})}{2} + 1$

Этап 6.2.2.1.5.2

Добавим $- π$ и $2 π$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sin (\frac{π}{2})}{2} + 1$

Этап 6.2.2.1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{1}{2} + 1$

Этап 6.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Этап 6.2.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{- 1 + 2}{2}$

Этап 6.2.2.2.3

Добавим $- 1$ и $2$ .

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - \frac{\sin (4 (0) + π)}{2} + 1$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Умножим $4$ на $0$ .

$f (0) = - \frac{\sin (0 + π)}{2} + 1$

Этап 6.3.2.1.1.2

Добавим $0$ и $π$ .

$f (0) = - \frac{\sin (π)}{2} + 1$

Этап 6.3.2.1.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (0) = - \frac{\sin (0)}{2} + 1$

Этап 6.3.2.1.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (0) = - \frac{0}{2} + 1$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $0$ на $2$ .

$f (0) = - 0 + 1$

Этап 6.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Этап 6.3.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (0) = 1$

Этап 6.3.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = \frac{π}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{8}$ .

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{\sin (4 (\frac{π}{8}) + π)}{2} + 1$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{\sin (4 (\frac{π}{4 (2)}) + π)}{2} + 1$

Этап 6.4.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{\sin (4 (\frac{π}{4 \cdot 2}) + π)}{2} + 1$

Этап 6.4.2.1.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{\sin (\frac{π}{2} + π)}{2} + 1$

Этап 6.4.2.1.1.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{\sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})}{2} + 1$

Этап 6.4.2.1.1.3

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{\sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})}{2} + 1$

Этап 6.4.2.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{\sin (\frac{π + π \cdot 2}{2})}{2} + 1$

Этап 6.4.2.1.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{\sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2})}{2} + 1$

Этап 6.4.2.1.1.5.2

Добавим $π$ и $2 π$ .

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{\sin (\frac{3 π}{2})}{2} + 1$

Этап 6.4.2.1.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{- \sin (\frac{π}{2})}{2} + 1$

Этап 6.4.2.1.1.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{- 1 \cdot 1}{2} + 1$

Этап 6.4.2.1.1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{- 1}{2} + 1$

Этап 6.4.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{π}{8}) = \frac{1}{2} + 1$

Этап 6.4.2.1.3

Умножим $- - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{π}{8}) = 1 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 6.4.2.1.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = \frac{1}{2} + 1$

Этап 6.4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{π}{8}) = \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Этап 6.4.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{8}) = \frac{1 + 2}{2}$

Этап 6.4.2.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f (\frac{π}{8}) = \frac{3}{2}$

Этап 6.4.2.3

Окончательный ответ: $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = - \frac{\sin (4 (\frac{π}{4}) + π)}{2} + 1$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{4}) = - \frac{\sin (4 (\frac{π}{4}) + π)}{2} + 1$

Этап 6.5.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{4}) = - \frac{\sin (π + π)}{2} + 1$

Этап 6.5.2.1.1.2

Добавим $π$ и $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = - \frac{\sin (2 π)}{2} + 1$

Этап 6.5.2.1.1.3

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (\frac{π}{4}) = - \frac{\sin (0)}{2} + 1$

Этап 6.5.2.1.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = - \frac{0}{2} + 1$

Этап 6.5.2.1.2

Разделим $0$ на $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 0 + 1$

Этап 6.5.2.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = 0 + 1$

Этап 6.5.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1$

Этап 6.5.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{4} & 1 \\ - \frac{π}{8} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \\ \frac{π}{8} & \frac{3}{2} \\ \frac{π}{4} & 1 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $\frac{1}{2}$

Период: $\frac{π}{2}$

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ влево)

Смещение по вертикали: $1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{4} & 1 \\ - \frac{π}{8} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \\ \frac{π}{8} & \frac{3}{2} \\ \frac{π}{4} & 1 \end{array}$

Этап 8