Тригонометрия Примеры

$y = - \frac{1}{2} \cdot \csc (2 π x)$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \csc (x)$ находятся в точках $x = n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(0, 2 π)$ для $y = c s c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = - \frac{\csc (2 π x)}{2}$ . Положив аргумент косеканса, $b x + c$ , равным $0$ в выражении $y = a \csc (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = - \frac{\csc (2 π x)}{2}$ .

$2 π x = 0$

Этап 1.2

Разделим каждый член $2 π x = 0$ на $2 π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $2 π x = 0$ на $2 π$ .

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{0}{2 π}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{0}{2 π}$

Этап 1.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{2 π}$

Этап 1.2.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{2 π}$

Этап 1.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2 π}$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$x = \frac{2 (0)}{2 π}$

Этап 1.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$x = \frac{2 (0)}{2 (π)}$

Этап 1.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 0}{2 π}$

Этап 1.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{0}{π}$

Этап 1.2.3.2

Разделим $0$ на $π$ .

$x = 0$

Этап 1.3

Выражение внутри косеканса $2 π x$ приравняем $2 π$ .

$2 π x = 2 π$

Этап 1.4

Разделим каждый член $2 π x = 2 π$ на $2 π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Разделим каждый член $2 π x = 2 π$ на $2 π$ .

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{2 π}{2 π}$

Этап 1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{2 π}{2 π}$

Этап 1.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{2 π}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{2 π}$

Этап 1.4.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2 π}{2 π}$

Этап 1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 π}{2 π}$

Этап 1.4.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{π}$

Этап 1.4.3.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π}{π}$

Этап 1.4.3.2.2

Перепишем это выражение.

$x = 1$

Этап 1.5

Основной период $y = - \frac{\csc (2 π x)}{2}$ находится на промежутке $(0, 1)$ , где $0$ и $1$ являются вертикальными асимптотами.

$(0, 1)$

Этап 1.6

Найдем период $\frac{2 π}{| b |}$ , чтобы узнать, где существуют вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты встречаются каждую половину периода.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

$2 π$ приблизительно равно $6.2831853$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{2 π}$

Этап 1.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 π}$

Этап 1.6.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{π}$

Этап 1.6.3

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π}{π}$

Этап 1.6.3.2

Перепишем это выражение.

$1$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = - \frac{\csc (2 π x)}{2}$ находятся в $0$ , $1$ и в каждой точке $\frac{n}{2}$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$x = \frac{n}{2}$

Этап 1.8

У косеканса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{n}{2}$ , где $n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{n}{2}$ , где $n$ — целое число

Этап 2

Применим форму $a \csc (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 2 π$

$c = 0$

$d = 0$

Этап 3

Поскольку график функции $c s c$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 4

Найдем период $- \frac{\csc (2 π x)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2

Заменим $b$ на $2 π$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 π |}$

Этап 4.3

$2 π$ приблизительно равно $6.2831853$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{2 π}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 π}$

Этап 4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{π}$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π}{π}$

Этап 4.5.2

Перепишем это выражение.

$1$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{2 π}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

Сдвиг фазы: $\frac{2 (0)}{2 π}$

Этап 5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

Сдвиг фазы: $\frac{2 (0)}{2 (π)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель.

Сдвиг фазы: $\frac{2 \cdot 0}{2 π}$

Этап 5.3.2.3

Перепишем это выражение.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{π}$

Этап 5.4

Разделим $0$ на $π$ .

Сдвиг фазы: $0$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период: $1$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{n}{2}$ , где $n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период: $1$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 8