Тригонометрия Примеры

$y = \tan (\frac{π}{15} x)$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \tan (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ для $y = \tan (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \tan (\frac{π x}{15})$ . Положив аргумент тангенса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \tan (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \tan (\frac{π x}{15})$ .

$\frac{π x}{15} = - \frac{π}{2}$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{15}{π}$ .

$\frac{15}{π} \cdot \frac{π x}{15} = \frac{15}{π} (- \frac{π}{2})$

Этап 1.2.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Упростим $\frac{15}{π} \cdot \frac{π x}{15}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{15}{π} \cdot \frac{π x}{15} = \frac{15}{π} (- \frac{π}{2})$

Этап 1.2.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{15}{π} (- \frac{π}{2})$

Этап 1.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{15}{π} (- \frac{π}{2})$

Этап 1.2.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{15}{π} (- \frac{π}{2})$

Этап 1.2.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{15}{π} (- \frac{π}{2})$

Этап 1.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Упростим $\frac{15}{π} (- \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{2}$ в числитель.

$x = \frac{15}{π} \cdot \frac{- π}{2}$

Этап 1.2.2.2.1.1.2

Вынесем множитель $π$ из $- π$ .

$x = \frac{15}{π} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Этап 1.2.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{15}{π} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Этап 1.2.2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$x = 15 (\frac{- 1}{2})$

Этап 1.2.2.2.1.2

Объединим $15$ и $\frac{- 1}{2}$ .

$x = \frac{15 \cdot - 1}{2}$

Этап 1.2.2.2.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.3.1

Умножим $15$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 15}{2}$

Этап 1.2.2.2.1.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{15}{2}$

Этап 1.3

Приравняем аргумент $\frac{π x}{15}$ функции тангенса к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{15} = \frac{π}{2}$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{15}{π}$ .

$\frac{15}{π} \cdot \frac{π x}{15} = \frac{15}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 1.4.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Упростим $\frac{15}{π} \cdot \frac{π x}{15}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1.1

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{15}{π} \cdot \frac{π x}{15} = \frac{15}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 1.4.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{15}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 1.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{15}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 1.4.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{15}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 1.4.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{15}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 1.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Упростим $\frac{15}{π} \cdot \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{15}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 1.4.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 15 (\frac{1}{2})$

Этап 1.4.2.2.1.2

Объединим $15$ и $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{15}{2}$

Этап 1.5

Основной период $y = \tan (\frac{π x}{15})$ находится на промежутке $(- \frac{15}{2}, \frac{15}{2})$ , где $- \frac{15}{2}$ и $\frac{15}{2}$ являются вертикальными асимптотами.

$(- \frac{15}{2}, \frac{15}{2})$

Этап 1.6

Найдем период $\frac{π}{| b |}$ , чтобы найти, где находятся вертикальные асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

$\frac{π}{15}$ приблизительно равно $0.20943951$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{π}{15}}$

Этап 1.6.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \frac{15}{π}$

Этап 1.6.3

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Сократим общий множитель.

$π \frac{15}{π}$

Этап 1.6.3.2

Перепишем это выражение.

$15$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = \tan (\frac{π x}{15})$ находятся в точках $- \frac{15}{2}$ , $\frac{15}{2}$ и в каждой точке $15 n$ , где $n$ ― целое число.

$x = \frac{15}{2} + 15 n$

Этап 1.8

У тангенса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{15}{2} + 15 n$ , где $n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{15}{2} + 15 n$ , где $n$ — целое число

Этап 2

Применим форму $a \tan (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 1$

$b = \frac{π}{15}$

$c = 0$

$d = 0$

Этап 3

Поскольку график функции $t a n$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 4

Найдем период $\tan (\frac{π x}{15})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2

Заменим $b$ на $\frac{π}{15}$ в формуле периода.

$\frac{π}{| \frac{π}{15} |}$

Этап 4.3

$\frac{π}{15}$ приблизительно равно $0.20943951$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{π}{15}}$

Этап 4.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \frac{15}{π}$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сократим общий множитель.

$π \frac{15}{π}$

Этап 4.5.2

Перепишем это выражение.

$15$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{\frac{π}{15}}$

Этап 5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $0 (\frac{15}{π})$

Этап 5.4

Умножим $0$ на $\frac{15}{π}$ .

Сдвиг фазы: $0$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период: $15$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{15}{2} + 15 n$ , где $n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период: $15$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 8