Тригонометрия Примеры

$4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 6 y - 29 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $29$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 6 y = 29$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $4 x^{2} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{4}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4}{4}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $64$ на $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$e = - 4$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

Этап 1.3

Подставим $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ вместо $4 x^{2} + 8 x$ в уравнение $4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 6 y = 29$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + 3 y^{2} - 6 y = 29$

Этап 1.4

Перенесем $- 4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 y^{2} - 6 y = 29 + 4$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $3 y^{2} - 6 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 3$

$b = - 6$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 3}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (3)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 3}{3}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}$

Этап 1.5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $3$ .

$e = 0 - \frac{36}{12}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $36$ на $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$e = 0 - 3$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $3$ из $0$ .

$e = - 3$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $3 {(y - 1)}^{2} - 3$ .

$3 {(y - 1)}^{2} - 3$

Этап 1.6

Подставим $3 {(y - 1)}^{2} - 3$ вместо $3 y^{2} - 6 y$ в уравнение $4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 6 y = 29$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 1)}^{2} - 3 = 29 + 4$

Этап 1.7

Перенесем $- 3$ в правую часть уравнения, прибавив $3$ к обеим частям.

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 1)}^{2} = 29 + 4 + 3$

Этап 1.8

Упростим $29 + 4 + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $29$ и $4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 1)}^{2} = 33 + 3$

Этап 1.8.2

Добавим $33$ и $3$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 1)}^{2} = 36$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $36$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{36} + \frac{3 {(y - 1)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{12} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 2 \sqrt{3}$

$b = 3$

$k = 1$

$h = - 1$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(- 1, 1)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(3)}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {(3)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(3)}^{2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{4 \cdot 3^{1} - {(3)}^{2}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{4 \cdot 3 - {(3)}^{2}}$

Этап 5.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\sqrt{12 - {(3)}^{2}}$

Этап 5.3.3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{12 - 1 \cdot 9}$

Этап 5.3.3.3

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\sqrt{12 - 9}$

Этап 5.3.3.4

Вычтем $9$ из $12$ .

$\sqrt{3}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(- 1, 1 + 2 \sqrt{3})$

Этап 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(- 1, 1 - (2 \sqrt{3}))$

Этап 6.5

Упростим.

$(- 1, 1 - 2 \sqrt{3})$

Этап 6.6

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 1 - 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 1 - 2 \sqrt{3})$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- 1, 1 + \sqrt{3})$

Этап 7.3

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- 1, 1 - (\sqrt{3}))$

Этап 7.5

Упростим.

$(- 1, 1 - \sqrt{3})$

Этап 7.6

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 1 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 1 - \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 1 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 1 - \sqrt{3})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(3)}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{1} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3 - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.4

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{12 - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{12 - 1 \cdot 9}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.6

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{\sqrt{12 - 9}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.7

Вычтем $9$ из $12$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(- 1, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 1 - 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 1 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 1 - \sqrt{3})$

Эксцентриситет: $\frac{1}{2}$

Этап 10